完全四边形性质（二） (3-2)

设ML与Γ交于另一点N，NH,GM交于P，NG,HM交于O。则PLO是自极三点形，于是PJO共线，而O,L,K的极线分别为LP,OP,MG，它们共点于P，于是O,L,K共线，同理P，L，I共线，而LK的极点是P，P在LI上，于是LK,LI共轭。证毕。

5.一定点关于二阶曲线束的极线共点。

这点用代数法就很好说明，设两二阶曲线束的两基元素分别为Γ₁:S≡XᵀAX＝0，Γ₂:S≡XᵀBX＝0，定点为P，则P关于曲线束中任意一个曲线Γ₁+λΓ₂＝0的极线为

l:Pᵀ（A+λB）X＝PᵀAX+λPᵀBX＝0，于是l过直线PᵀAX＝0和直线PᵀBX＝0的交点。证毕。注意，如果对曲线束中三个退化的二次曲线也定义极点极线的概念，也是成立的。

6.若二级曲线退化成两线束，则此时二级曲线的中心为两线束中心连线的中点。

我们知道非退化二级曲线Γ:S≡uᵀAu＝0的中心定义为无穷远直线l关于其的极点lᵀAu＝0，如果对于退化的二级曲线也用这个定义来定义其中心，我们将得到其中心为中点。

证：设退化的二级曲线的两线束中心分别为M（m₁,m₂,m₃)ᵀ和N（n₁,n₂,n₃)ᵀ，其笛氏坐标为M（x₁，y₁)， N（x₂，y₂)则可得到此退化二级曲线Γ₁的方程为

uᵀ（MNᵀ+NMᵀ）u＝0，无穷远直线l的坐标为（0,0,1），由定义可得到l关于Γ₁的极点O为

lᵀ（MNᵀ+NMᵀ）u＝0，易其坐标为

lᵀ（MNᵀ+NMᵀ）＝（m₃n₁+n₃m₁，m₃n₂+n₃m₂，2m₃n₃）令第三分量为1，得到坐标为（（x₁+x₂）/2，（y₁+y₂)/2，1)，于是O为MN中点。

7.如图，三点形ABC与三点形A₁B₁C₁内接于二次曲线Γ，且关于点O透视，Γ上任意一点P分别与三点形A₁B₁C₁顶点相连，分别交此点在透视中的对应点的对应边于E,F,G，则有:E,F,G,O四点共线。

证：

分别对简单六点形ABB₁PC₁C和简单六点形AA₁PC₁CB利用Pascal定理分别得到，E,F,O共线和O，G，E共线，于是E,F,G,O四点共线。

好了几个引理已经说明完了，接下来说说之前提到的关于密克点，西姆松线，完全四边形的垂心线，以及史坦纳定理等等。

我们先给出结论：

不妨称引理1中的抛物线为完全四边形的外切抛物线。

1.完全四边形的四个三角形的外接圆共点，此点为其外切抛物线的焦点。即完全四点形存在密克点且是外切抛物线的焦点。

2.完全四边形的西姆松线为其外切抛物线在顶点处的切线。

3.完全四边形三条对角线中点共线（牛顿线）

4.完全四边形的垂心线是其外切抛物线的准线。（史坦纳定理将在证明中一并说明)

证：

1，不妨取完全四点形中的一个三点形ABC，我们知道，焦点F为迷向切线的有穷远交点，于是三点形ABC与三点形IJF（IJ为圆环点）同时外切于抛物线，由引理二的对偶我们知道这六个点内接于一条二次曲线，因此这条二次曲线经过圆环点I,J为圆，即ABCF共圆，于是对于完全四点形的另外三个三点形也一样，故这些圆都共点于交点F。即完全四点形存在密克点且是外切抛物线的焦点。

2，由引理4即得。

3.完全四边形三条对角线中点共线（牛顿线）

由引理5的对偶及引理6，将对角线的两端点看做线束中心，设引理5的对偶中的直线为无穷远直线即得。

4.我们来证明“抛物线的外切三角形的垂心在准线上”这一性质即可。

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