完全四边形性质（一） (3-1)

1.概念

1.概念:

完全四边形指欧氏平面内无三线共点的四条直线两两相交所构成的四条边和六个点组成的图形。其中，无公共边的任意一对点叫做对顶点，对顶点的连线叫做完全四边形的对角线。

如下图，完全四点形ABCDEF，其中AD,BF,CE是它的对角线。

2.重要的点和线:

1):密克点

首先先来介绍一个大家比较耳熟能详也比较重要的概念——完全四边形的密克（Miquel）点，如下图，在完全四点形的构图中，有四个三角形，这四个三角形的外接圆共点，称为密克点。

证:

如图，设两个外接圆交于除了D以外的点O，由对称性，只要证A,C,O,F共圆即可，而

∠EFO＝∠EDO＝∠BCO（即∠ACO)，于是∠EFO＝∠ACO，故A,C,O,F四点共圆，同理A,B,O,E共圆，即四个三角形的外接圆共点于O.证毕。

五点共圆:

利用密克点的性质还可以证明著名的五圆定理:如图，五角星AHEBD的五个三角形的外接圆两两相交，除了图形固有的五个点KIJFG外，还有五个交点OPLMN,则这五点共圆。

证:如图，（蓝色为辅助线）由对称性，只需证PLMN共圆，只要证∠LPM＝∠LNM。

由图可知L,N分别为完全四边形BIAJHF和BIAFEG的密克点，于是ALFNB五点共圆，同理DPJME五点共圆，故∠LPJ＝∠LAJ＝∠LNF，∠JPM＝∠JEM＝∠FNM，于是∠LPJ+∠JPM＝∠LNF+∠FNM，即∠LPM＝∠LNM，证毕。

2):密克点在四条边上的射影共线

如下图。

利用西姆松定理可以很快证明:由于ODBC共圆，所以J,I,H共线，同理I,H,G共线，于是四点JIHG共线。这条线也称为完全四边形的西姆松线。

3)牛顿线

如下图，完全四边形三条对角线的中点共线，此线称为牛顿线（想也不用想肯定是牛顿老爷子证明过的啦 ＾＿^）。

这个定理的证明有很多种，这里举个利用梅涅劳斯定理的方法。

先介绍一下完全四边形的一个重要性质——梅涅劳斯定理:如下图，一直线l截三角形ABE三边于F,D,C，则有（EF/AF)·（AC/BC)·（BD/ED)＝1

如果用单比来描述则会比较简便即:

（EAF)(ABC)(BED)＝1，其中，直线l称为梅氏线，被截三角形称为梅氏三角形。

用梅涅劳斯定理的逆是证明三点共线的重要手段，即满足（EAF)·(ABC)·(BED)＝1，则有F,C,D三点共线。接下来就可以证明牛顿线定理了。而辅助线的做法也比较巧妙。

证:如图，取三角形ACF三边中点L,K,I，由中位线定理显然有K,I,G共线 KJL共线和LHI共线，于是(LKJ)·(KIG)·(ILH)＝(FCD)·(AFE)·(CAB)＝1。

其中，第一个等号右边的式子是以BDE为梅氏线，三角形CAF为梅氏三角形的梅涅劳斯式。等号左边的式子是将三角形LKI看做梅氏三角形，而结果等于1，由梅涅劳斯定理的逆知JHG三点共线，即牛顿线。

完全四边形的一般性质

如图，①完全四边形的四个三角形的外接圆圆心O₁O₂O₃O₄连同密克点M五点共圆（红色圆）。

②完全四边形的四个三角形的垂心共线（红色)，称为垂心线。

③以完全四边形的三个对角线段为直径的圆圆心共线（牛顿线）且三个圆共轴，该轴恰为垂心线。

④垂心线平行于西姆松线（蓝色)，牛顿线与这两条线垂直，且密克点M到西姆松线的距离是到垂心线距离的一半。

证：

①

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