数学三角形定理与中心集群（二） (5-5)

如图，设l极点为Q，连QF,QG,QH,QI。由配极原则P,O,N,M的极线分别为QI,QH,QG,QF.于是点列（PO,NM)与线束Q（IH,GF）射影对应，所以（PO,NM)＝Q（IH,GF），而（IH,GF）＝（PO,NM)于是Q（IH,GF）＝（IH,GF），这表明Q在Γ上，即l的极点在Γ上，于是l与Γ相切。

必要性显然。

接下来就步入正题啦，

如图 ，二次曲线Γ₁（外）和Γ₂（内）。三角形OMQ内接和外切Γ₁，Γ₂。过Γ₁上一点L作Γ₂的两切线分别交Γ₁于N,S,则NS是Γ₂的切线。

证：

设OM与OQ分别交NS于R，T，LN与LS分别交MQ于U，V。

则（NR,TS)＝O（NR,TS)＝O（NM,QS）

＝L（NM,QS）＝L（UM,QV）＝（UM,QV)而由引理可得（UM,QV)＝（FH,KJ），于是（NR,TS)＝（FH,KJ）

而N,R,T,S分别为F,H,K,J的切线在NS上的截影，于是由引理得NS是Γ₂的切线。证毕。

点P关于非退化二次曲线Γ:S≡XᵀAX＝0的极线方程在齐次坐标下就是pᵀAX＝0 ，这很好地体现了“坐标代入一半”的情况

就是函数与无穷小量的关系

对于limx→x₀ f（x）＝A，那么

f（x）＝A α，α为该过程中的无穷小量。

按题来说应该是个可导函数，于是对于任意一个u有limΔu→0 Δy/Δu＝f'（u)，

设α＝Δy/Δu-f'（u)，则

limΔu→0 α＝limΔu→0（Δy/Δu-f'（u))

＝f'（u）-f'(u）＝0，于是

Δy/Δu＝f'（u) α，α为limΔu→0 Δy/Δu＝f'（u)过程中的无穷小量

f（x）＝logₑˡⁿˣ（x-1）＝（1/lnx)ln（x-1），x＞1

则f'（x）

＝（1/lnx)'ln（x-1） （1/lnx）（ln（x-1）)'

＝-ln（x-1)/[x（lnx)²] 1/[（x-1）lnx]

＝[-ln(x-1)ˣ⁻¹ lnxˣ]/[x（x-1)(lnx)²]

＝ln[xˣ/(x-1)ˣ⁻¹]/[x（x-1)(lnx)²]

＞0

易得切点四边形EFGH是一个平行四边形。

我们要证明的是EF,GH,BD平行，即交于无穷远点，而EF,GH的交点是AC的极点，故而转为证明AC的极点在BD上，即OD,OC共轭。

这要用到一个引理——二次曲线外切三角形的一个顶点的共轭点与另外两个顶点的连线共轭。

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