数学三角形定理与中心集群（二） (5-4)

f(x)＝16sin²θ-16sinθcosθ+4的最值如何计算？

2sinθcosθ＝（sinθ cosθ）²-1

原式＝16sin²θ-8[（sinθ cosθ)²-1] 4

＝16sin²θ-8（sinθ cosθ）² 12

＝4[（2 √2)sinθ √2cosθ][（2-√2)sinθ-√2cosθ] 12 （平方差公式）

＝4[√（8 4√2）sin（θ φ₁)][√（8-4√2）sin（θ φ₂)] 12

＝16√2sin（θ φ₁)sin（θ φ₂) 12，其中tanφ₁＝√2/（2 √2 ) ， tanφ₂＝-√2/（2-√2)

＝8√2[cos（φ₁-φ₂）-cos（2θ φ₁ φ₂)] 12（积化和差）

而tanφ₁tanφ₂＝-1 ， 不难得到cos（φ₁-φ₂）＝0‬

所以原式＝-8√2cos（2θ φ₁ φ₂) 12∈[-8√2 12，8√2 12]

第二题本质上是配极和调和的应用

如图，A（2,0）,B（2，1），C（2，-1），过B的直线交椭圆Γ于G,F，GA交Γ于I，CI交Γ于K，则我们要证明的是K,F,A共线。

设BG,CK交于J，如果KFA共线那么由极线的定义我们知道A点在J的极线上，那么根据配极原则J就一定在A的极线上，而J又在BG上，所以J就是BG和A极线的交点，于是我们要证明的就转化为证明BG和A极线的交点,以及I,C三点共线。

如图，我们隐去除AG,BG以外的直线，连接CG，设BG,CG交A的极线即直线x＝1于J,L，设JL交AG于M，那么我们要证明的就是J,I,C共点。事实上由对称性不难得到BIL也是共点的。

证：

设BM,CM分别交CG,BG于N,O，连NO。

由完全四点形OGNM的调和性知NO与BC的交点是点列BC,A的第四调和点。而A是BC中点，于是其第四调和点是无穷远点，即ON∥BC，而JL∥BC，所以ON,JL,BC三线共点。于是根据完全四点形的调和性可得

（GJ,OB）＝（GL,NC）＝-1，又由极线的性质可得（GI,MA）＝-1，即（GJ,OB）＝（GI,MA)＝-1，注意到G→G,这说明点列（GJ,OB)和点列（G,I,M,A)是透视的，于是对应点连线共点，而这里的两对对应点连线OM,BA已经交于点C，所以JI也过C,即J,I,C共线。证毕。

Poncelet 闭合定理在n＝3的情况有比较简单的证明。现给出两种证明。

1)

如图 ，二次曲线Γ₁（外）和Γ₂（内）。三角形LNQ内接和外切Γ₁，Γ₂。过Γ₁上一点O作Γ₂的两切线分别交Γ₁于PM,则PM是Γ₂的切线。

证：

如图，设PO与LQ，MO与LN，MQ与PN分别交于V，U，T。依Pascal定理有V,U,T三点共线。也即PN,MQ,VU三线共点。由Brianchon定理的逆，有六线形PVQNUM外切于一条二次曲线，而五条切线确定一条二次曲线且PV,VQ,QN,NU,UM外切于Γ₂，于是六线形PVQNUM外切于Γ₂，故PM与Γ₂相切。证毕。

2)

第二种证明要用到一个引理：

如图，二次曲线Γ上四点（事实上n个点也成立)I,H,G,F的切线与直线l分别交于P，O，N，M，则

（IH,GF）＝（PO,NM)↔l与Γ相切。

证明：

先证充分性：

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