数学三角形定理与中心集群（二） (5-3)

[（kb-kq)（kf-kp)]/[(kb-kp)(kf-kq)]＝-1，而kf＝0，于是整理得kp kq＝2kp·kq/kb，而由斜率的几何定义不难得到kb＝3kl/2，于是kp kq＝4kp·kq/3kl,从而只要证明kq·kp＝-9/4，这就比较容易了，利用齐次化就行了。当然也可以从射影几何角度来说明：

由于直线过定点F1,于是确定了二次曲线上的一个对合，AP,AQ是以A为中心的对合线束中的一对对应直线，而注意观察当l与x轴重合的时候，这个时候的对应直线是AA和AF1,斜率为∞和0，这说明对合方程akk' b(k k') c＝0（ac-b²≠0)中的参数b＝0，于是kk'＝-c/a为常数，于是知道了这一点我们就可以随意取一条特殊直线例如过左焦点且垂直于x轴的直线为l，算出kp·kq＝-9/4即可。

齐次坐标下方程为:

S≡XᵀAX＝0

其中A为三阶实非异对称阵且其中A33＞0

极线的定义是这样的：

设一点P，那么点P的所有的共轭点的集合为一条直线，这条直线称为P的极线。

设非退化二次曲线Γ:S≡XᵀAX＝0，其中A为实非异对称阵。我们迳用字母的小写表示该字母代表的点的齐次坐标，例如P的齐次坐标为p（用列向量表示）。过P做直线l交Γ于M,N两点（实的或一对共轭的虚点。)设P的共轭点的为Q，于是l上任意一点的齐次坐标可以表为p λq。

那么l与Γ的交点符合:（p λq)ᵀA（p λq)＝0即λ²qᵀAq λpᵀAq λqᵀAp pᵀAp＝0，而Aᵀ＝A，于是上式可以化为λ²qᵀAq 2λpᵀAq pᵀAp＝0（*)这是一个关于λ的一元二次方程。而M,N为两交点，于是M,N的参数就是上述方程的两个根。又因为Q是P共轭点，于是M,N的参数λ₁，λ₂满足λ₁/λ₂＝-1即λ₁ λ₂＝0，即pᵀAq＝0，于是p的共轭点Q的坐标满足这个式子，将流动变量q化为x即得到pᵀAx＝0，这是一条直线，称其为P的极线。

注意到通过（*）式也可以求P的切线方程，只要令△＝0，同样把q换为x我们得到（pᵀAx)²＝（xᵀAx)（pᵀAp），这是一个二次方程，表示的是过P的两条切线。如果P在Γ上，那么pᵀAp＝0，于是切线方程为pᵀAx＝0，我们注意到这个方程和极线方程一致，于是规定当P在曲线上时其切线就是其极线，切线上的所有的点都和P共轭，并且P自共轭。

所以我们得到了极线的统一表示即任一点P的极线为pᵀAx＝0。

接下来回到题主说的问题来，由极线的定义和完全四点形的调和性可以知道第二张图中的直线NM表示的是P的极线，现在问题就变成了为什么切点弦所在直线就是极线。

这是因为:设Γ外一点P，那么过P的切线上的切点一定满足（pᵀAx)²＝（xᵀAx)（pᵀAp）① 和xᵀAx＝0 ②，联立①②可以得到pᵀAx＝0，这说明切点坐标满足pᵀAx＝0，而这就是p的极线方程，也就表明切点在极线上，而两点确定一条直线，故两切点的连线就是极线。

切线问题转化为对偶问题。

根据原图可知，四条切线确定了一个二级曲线束，我们要证明的是这四条直线构成的完全四线形的一双对顶对于曲线束中的两个元素的极线共点，即一个对顶线的关于任意一个元素的极点唯一存在。

转化成对偶问题就是就很显然了，如下图，ABCD是一个二阶曲线束，F是对边点，那么FHJ为自极三点形，即对于二阶曲线束中的任意一个非退化的元素，F的极线都为HJ，证毕。

这里做对偶变换其实也没有什么必要，完全四线形也有一个自极三线形（当然这某种程度上也利用了对偶原则)，只是我们一般熟悉处理点几何问题。

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