数学三角形定理与中心集群（二） (5-2)

其实读者如果仔细观察就会发现这里的2√[R²-d²/（m²+1)]其实就是极坐标证明中的2√（R²-d²sin²θ₁) ，两种方法思路是一样的。

此外在圆锥曲线中，对于对角线垂直且交点为焦点的四边形，利用极坐标也很容易得到类似的结论。

如图，椭圆ρ＝ep/（1-ecosθ)＝φ（θ)，设H（ρ₁，θ₁），则I（ρ₂,θ₁+π），G（ρ₃，θ₁+1/2π)。

则｜HI｜＝ρ₁+ρ₂＝φ（θ₁)+φ（θ₁+π)＝2ep/（1-e²cos²θ₁)，同理｜GF｜＝2ep/（1-e²sin²θ₁)，则S＝1/2｜IH｜·｜GF｜＝2e²p²/（1-e²+e⁴sin²θ₁cos²θ₁）≤2e²p²/（1-e²/2）²＝ 8e²p²/（2-e²）²，当且仅当sin²θ₁＝cos²θ₁＝1/2时等号成立。若为抛物线的情形则e＝1，Smax＝8p²。p为焦准距。

第二题背景是极线的调和性

（1）x²/3-y²＝1 ， 建议提问之前先把第一题答案附上。

如图定点A（3,0），易知直线x＝1为A的极线。

设OA上的无穷远点为P∞，是一个定点，那么E为CP∞与直线x＝1的交点。那么我们要证明的是DE过定点。显然这时候我们把题目的条件转化为了配极和点线结合关系这样的射影不变量，因此利用射影变换题目就等价于：

如图，二次曲线Γ和两定点H,I，过I做直线交Γ于K,M，HM交I的极线（蓝色直线）于N,则KN过定点。

证：

设KM与I的极线交于Q，QN交HI于O,KN交HI于P。

于是由极线调和性质知（KM,IQ）＝-1，而点列（P,H,I,O)与（K,M,I,Q)关于N透视，于是（PH,IO)＝（KM,IQ）＝-1，即点偶I ,O调和分离点偶P,H，而I,H为定点，O为I的极线与定直线HI交点，也为定点，故P也为定点，即KN过定点。证毕。

回到题目，那么DE过的定点应为直线x＝1与x轴交点B（1,0）及点A（3,0）和P∞三点组成的点列的第四调和点，即AB中点（2,0）。

任意无三点共线的五点确定一条非退化二阶曲线。

1)从代数上看，实非退化二阶曲线在齐次坐标下的方程为 S≡XᵀAX＝0 ，其中A为实非异对称阵，由齐次坐标的性质A中的六个元素只有五个独立，那么自然无三点共线的五点确定一条二阶曲线，如果含三点共线的五点，A将会是退化的。

2)从几何上看 ，设五个点为O,O' P(i) （i＝1,2,3)，连接OP（i)，和O'P（i)，由二次曲线的射影定义可知成非透视对应的射影对应的两线束的对应直线交点的全体及两个线束的中心构成一条非退化二阶曲线，而三对对应直线唯一确定一个射影对应，于是设OP（i)，和O'P（i)中与相同的点相连所得到的直线为对应直线，由于五点中无三点共线于是显然确定了一个非透视的射影对应，进而确定一条非退化二阶曲线。

根据题意我们显然要证明的是直线l过左焦点F1.不妨思考为什么直线过F1时有题设中的斜率关系。

如上图，设l与F1对应的准线（即F1的极线)交于B，连AB，为叙述方便，记直线AB,AQ,AP,AF,l的斜率分别为kb,kq,kp,kf,kl.于是我们要证的是kp kq＝-3/kl

由极线的调和性，有A（BF1,QP）＝-1，由非齐次参数的几何意义就有

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