帕斯卡定理

本文将谈谈Pascal定理的一些推广

• Pascal定理

如图为Pascal构图的其中一种常见的情形，定理指出如图所示的简单六边形KOMNLP内接于二次曲线Γ，则其三对对边交点Q,R,S共线。具体证明有很多种，这里就不说了。

然而，当我们如果让Γ退化成两条直线，会惊讶地发现这个结论也成立，此时这个构图被称为Pappus构图，这个结论也被称为Pappus定理。

仔细观察上述构图可以发现，如果我们将直线组JH×GK， FK×JI ，FG×HI看成三个退化的二次曲线，那么这个定理可以这样叙述——三条退化的二次曲线有公共点对J,K，此外还两两有一对交点F和I,G和H,L和O，则这三对交点对应点连线共点。同理我们也可以把pascal定理也做这样的等价描述。而pascal定理中有一条曲线是非退化的，于是我们可以合理地猜测，“如果把这三个退化的二次曲线换成非退化的，结论是否仍然成立呢？” 经验证，的确如此。下面来说明。

• 定理的推广

先给出结论—— 设三个非退化二次曲线Γ₁，Γ₂，Γ₃有两个公共点A,D，则它们两两还会有一对交点（相切则视为两个重合的交点。)，除去A,D共三对交点，则这三对交点的对应点连线共点，如下图。

证明:

采用代数法来证明，我们迳用点的字母表示其齐次坐标，利用曲线系我们知道

Γ₃＝λ₁Γ₁+λ₂NO×AD（为方便计，这里直接用直线表示其解析式了)，而我们知道齐次坐标下任意直线PQ的解析式为｜PQX｜＝0，故

Γ₃＝λ₁Γ₁+λ₂｜NOX｜·｜ADX｜＝0，同理

Γ₂＝μ₁Γ₁+μ₂｜ADX｜·｜PQX｜＝0，于是

μ₁Γ₃-λ₁Γ₂＝（μ₁λ₂｜NOX｜-λ₁μ₂｜PQX｜)｜ADX｜＝0（*）

而我们知道μ₁Γ₃-λ₁Γ₂＝0表示的是一条过Γ₃和Γ₂的交点的曲线，即经过A,D,L,M四点，这说明L,M两点的坐标是方程（*）的解，然而L,M不在AD上，于是｜ADM｜和｜ADL｜均不为零，于是点L,M的坐标只能是适合方程

（μ₁λ₂｜NOX｜-λ₁μ₂｜PQX｜)＝0，而这是一条直线，并且经过NO,PQ的交点R，现在我们说明了L,M也在这条直线上，故L,M,R共线，所以PQ,LM,ON共点，证毕。，事实上由于曲线系的特性，即使图中曲线退化，证明过程也不会怎么改变。

可以看到证明过程比较的简单，之所以把这个结论领出来是因为它的诸多形式可以引申出许多重要定理。

• 推论

推论1:

Pascal定理

令此结论中其中两条二次曲线退化即得。

推论2:

Pappus定理

令此结论中三条曲线均退化，即得。

推论3:

蒙日定理（根心定理）

没错，就是平面几何里面著名的根心定理，其指出平面上三个圆的根轴共点或重合，或平行。这里我们拿共点说说。首先圆是非退化二次曲线，其次，三个圆有两个公共点，那就是圆环点I,J，根据结论，这就说明这三个圆的公共弦（也就是根轴)共点。

推论4:

就像Pascal定理一样有许多极限形式，当我们让一些交点重合时也会得到一些有用的结果。

例如让三条曲线的公共点A,D重合为一点P，那么结论就变为，三条二次曲线相切于一点P，此外两两相交，则三对交点对应点连线共点。

推论5:如果让三条曲线的两两交点的某些重合，则相应的连线也变为切线。

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