完全四边形性质（一） (3-2)

如图，蓝色的是辅助线，由对称性只要证O₁O₂MO₃共圆，只要证∠O₁O₂M与∠O₁O₃M互补。由连心线的性质得直线O₁O₂平分∠CO₂M，于是只要证∠O₃＝∠CO₂M/2＝∠CDM＝∠FEM，而O₁O₃是连心线，故∠O₃＝∠FO₃M/2＝∠FEM，所以∠O₃＝∠FEM。证毕。

②和③可以放到一起证明

如图，以△EDF的垂心H₃为例，设三个圆与△EDF三边分别有交点I,J,G，由直径所对的圆周角是直角以及垂心的定义可以知道EI,FJ,DG交于垂心H₃，由垂心的性质有

FH₃·H₃J＝EH₃·H₃I＝DH₃·H₃G，这说明垂心H₃对三个圆的幂相等即H₃是三个圆的等幂点，三个圆的圆心共线，而由蒙日定理我们知道三个圆心共线的圆不存在根心，所以只能是①三个根轴重合或者②有两个重合，剩下一个平行于重合的根轴③三条根轴都平行，而②③的情况是不会存在“某点对三个圆的幂都相等”这样的情况的，故②③不成立，故这三个圆只能是共根轴，且H₃在根轴上，同理H₁，H₂，H₄也在其上，这就证明了四个垂心共线且垂心线是三个共轴圆的根轴。

④

第四个性质的证明需要用到关于三角形西姆松线的史坦纳定理:一个点关于一个三角形的西姆松线经过这个点与这个三角形垂心连线的中点。（详见另一篇文章《平面几何定理及证明 （2)》）

如图M与各个垂心的连线交西姆松线于W，A₁，Z，E₁，则由史坦纳定理，W，A₁，Z，E₁是中点，所以可以认为W，A₁，Z，E₁做关于M的1:2的正向位似变换得到四个垂心（从这个角度也可以说明四个垂心共线)，于是两直线平行且密克点M到西姆松线的距离是M到垂心线距离的一半，因为根轴垂直于连心线，所以牛顿线垂直于垂心线和西姆松线。证毕。

特殊条件下完全四边形密克点的性质

以下辅助线均用蓝色线代替

1)

如图在完全四边形ABCDEF中，有AB＝AE，BC＝EF，M是其Miquel点O1 O2 O3 O4分别为各外接圆圆心，则有①DM⊥CF②O₃,D,M共线③AM是⊙O₄即三角形ABE外接圆的直径。

① ， ② 将△ACF看做梅氏三角形，BDE看做梅氏线，则有（ACB)·(CFD)·(FAE)＝1，而AB＝AE，BC＝EF，于是得到DF＝DC。

AB＝AE→∠ABE＝∠AEB→∠DMC＝∠DMF，结合DF＝DC及正弦定理可以得到⊙O₁和⊙O₂是等圆，这说明∠DCM＝∠DFM，于是△DCM≌△DFM，故MD是CF的中垂线，自然O₃,D,M共线。此外导角易知∠ABM＝90°，于是AM是⊙O₄的直径，这就完成了三个小结论的证明。

2)当处于如图所示位置的四点CDEF共圆时

则①其密克点I在GH上

证:由圆幂定理得GC·GD＝GF·GE，注意到GC·GD是G对左小圆的幂，GF·GE是G对右小圆的幂，故G是两个圆的等幂点，在根轴HI上，于是G,H,I共线。

②如图，J为圆CDEF的圆心。

有HI平分∠CIF,∠DIE，CJIF共圆，DJIE共圆，JI⊥EI。读者自证不难。

3)若如图所示四点ABDF共圆，

则①其密克点M在对角线CE上

证: ∠DMC＝∠ABD，∠DME＝∠AFD,故∠DMC+∠DME＝∠ABD+∠AFD＝180°，故C,M,E共线。

②如图，1)过E的切线的切点P,Q以及C,G四点共线。2)OM⊥CE。3)G为三角形OCE垂心。4)O,G,M共线。

证:

1)利用极点极线的性质即可，C,G,P,Q在E的极线上。

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