罗素（二） (4-1)

康德基于在空间和时间中组织“直观”（感觉经验）的“感觉的形式”而将数学真理视为先天的综合，进而为几何学和算术提供相应的支持，但上述这些难题并没有得到解决。理查德·戴德金是第一位提出数学是分析命题而非综合命题的人，但弗雷格依旧认为几何学是先天综合的，但他认为算术拥有完全不同的基础。在弗雷格发展他的“概念文字”时，他的目的是将算术奠基在“一般逻辑法则与定义”之上而确立算术的真理是分析性的。

罗素长期以来梦寐以求的，是数学建立在不可动摇的基础之上。在他孩提时代，他的哥哥教他几何学，当罗素质疑几何学的起点，也即定义与公理时，他的哥哥告诉他不得不接受它们，否则就无法进行下去。罗素虽然醉心于整个数学领域之美，但他也受到如下困扰，即数学建立在未经证实然而我们便相信的基础之上。因此数学立基于逻辑学的前景对他具有深深的吸引力。

1900年12月31日，也就是19世纪的最后一天，罗素完成了《数学原理》的初稿。但仅仅五个月后，他就发现其中包含一个会危及整个体系的悖论，弗雷格在与罗素交流的信件中写到：“你对悖论的发现让我震惊到无以言表……让我如雷击般惊愕不已，因为它动摇了我打算将算术建立其上的基础……更严重的是，它似乎摧毁了……唯一可能得算术的基础。”不久之后弗雷格放弃了努力，但罗素坚持了下来，试图找到绕过这一问题的方法，最终他成功了。

简言之，罗素发现的具有摧毁性的逻辑悖论是这样的。先来注意譬如托盘上的茶杯集合、兽群中的母牛集合等这样有关事物的集、集合或类的直觉观念。罗素和弗雷格试图通过集合来定义数字。取一个集合，其中的成员是一副刀叉。另一个集合中的成员是一对夫妻，还有一个集合中是一只母牛和一只公牛。它们都是一双或一对（pair）成员构成的集合。这就提供了一种方法来定义数字2.

同样，数字3就是由三个成员构成的集合的集合。（该集合包含一切像这样的集合：一个集合中包含着刀、叉、勺，另一个包含着父亲、母亲和儿子，还有一个集合包含着母牛、公牛和另一只小牛等）用这种方法可以重复定义一切数字。更准确来说，“一个集合的数字，就是一切与之相似的集合的集合”——其中“相似”是个技术化词汇，指的是所讨论的集合的成员之间存在的一一对应的关系

浮现出来的悖论是，假设村子里有一位替不给自己刮胡子的男士们刮胡子的理发师（理发师自己也是男士，包括村庄里所有男士，且仅包括这些男士）。这位理发师是否会为自己刮胡子呢？M:给自己刮胡子的男人，N：不给自己刮胡子的男人。如果理发师给自己刮胡子，按照他所说，是替不自己刮胡子的男士刮胡子，所以他属于不给自己刮胡子的男士，即他属于N;如果理发师不给自己刮胡子，按照他所说他要给自己刮胡子，即他属于M,因此产生悖论。

考虑这样一些事实，即一些集合就是其自身的成员，而一些却不是。比如：

P={X| X是集合，X中元素个数是无限的}，对于P本身而言，P集合本身也拥有无限多个元素{1,2}、{2,3}{3,4}……因此P属于P

但如果Q的定义是{X| X是集合，X中的元素个数是有限的}，那Q就是那种不属于自己的集合，因为Q也有无限个元素。{1、2、3}{2、3、4}{3、4、5}……也就是说，属于Q的集合是有限元素的，但Q作为有限个元素的集合的集合（自然数集合，其中每个集合元素都是有限的，但自然数集合本身即Q，是无限的），是无限的。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。