逻辑学对语义学的影响（一） (5-4)

∃x(Sx ∧ Px) ↔ ¬∀x (Sx → ¬Px)

∃x(Sx ∧ ¬Px) ↔ ¬∀x (Sx → ¬Px)

Some S is P Some S is P

Fig.10.1:Square of oppositions

对当方阵中已经包含了许多不同“对当”的类型。一个句子的矛盾式（contradiction）是其外部否定“It is not the case that...”，一个句子的反对式（contrary）则属于内部否定。这些对当具有这样的一般特征：

• 两个互相矛盾的句子中，其中一个必为真，另一个必为假。

• 两个互相反对的句子不能同时为真，但有可能同时为假。

• 两个具有下反对（subcontrary）关系的句子不能同时为假，但有可能同时为真。

这里存在的一个关键问题是所谓“存在假定”（existential import）的预设问题。根据对传统的对当方阵的 一种理解，像Every F is G 和 Some F is G 这样的句子意味着至少有一个东西是F。这也就是所谓的存在假定。如果没有存在假定，那么反对关系和下反对关系都不能成立。比如假如S是一个空集，那么Some S is P 和 Some S is not P 都是假的，违反了下反对关系。但显然，S原则上当然可以是一个空集。因此，这类三段论句子的现代谓词逻辑版本都不涉及存在假定，并且抛弃了反对和下反对关系，只保留矛盾关系。

3. 弗雷格的推进 Gottlob Frege's progress

弗雷格引入了现代的谓词逻辑，并发展出一套系统的现代的语言哲学。他用了一种特殊的记号，其中横线表示句子的内容（the content line），竖线表示断言的行为（the judgement line）：

⊦ A

这一区分可谓后来Searle对illocution和proposition区分的先声。

弗雷格的首要目的是廓清算数句的理论地位。以3² 这样一个数学表达为例，弗雷格将其分析为一个函数表达 ()² 和一个论元表达 3 。函数表达的本质特征是“未饱和的”（unsaturated），也就是需要被论元表达填充以构成完整的句子。因此，论元表达相应的就是饱和的（saturated）。

这套理论迁移到语言中，我们就可以认为谓词是典型的未饱和的表达，而专有名词和限定摹状语则是典型的饱和的表达。谓词指称的是概念（concepts），概念在他看来就是函数；概念需要被对象（objects）填充，而专有名词和其他单称项（singular terms）就指称对象；填充完整的句子就指称一个真值。

这里介绍一点弗雷格的现代逻辑系统。他发展出了以下命题演算：

公理（Axioms）：

a. A → (B → A)

b. (C → (B → A)) → ((C → B) → (C → A))

c. (D → (B → A)) → (B → D → A))

d. (B → A) → (¬A → ¬B)

e. ¬¬A → A

f. A → ¬¬A

一条推理规则（rule of inference）：

A → B，A ⊦ B

如果我们加进一条公理和一条规则，就可以得到一个既完备（complete）又一致（consistent）的谓词逻辑系统：

∀xA[x] → A[α] (BS：51).

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