逻辑学对语义学的影响（一） (5-3)

Barbara Darii

Every M is H Every F is H

Every F is M Some F are M

Every F is H Some F are H

Ferio Celarent

No M is H No M is H

Some F is M Every F is M

Some F is not H No F is H

同样，谓词结构也有四种：

Tab.10.4:Predicate structures

I. M H II. H M III. M H IV.H M

F M F M M F M F

F H F H F H F H

对于这每一种结构，都可以根据上面的不同句子类型进行变换，这就可以穷尽亚里士多德逻辑中所有可能的三段论推理。这里我们其实忽视了一点，即亚里士多德其实已经发展出了一套模态逻辑（modal logic），但我们这里关注其非模态逻辑的核心思想。尽管亚里士多德逻辑是一项天才般的发明，但它还是有其局限性：严格的说，三段论推理中没有单数项（singular terms），也没有存在句（如“Trees exist”），量化的可能性也很局限，特别是不允许一个句子中出现多重量化。Gottlob Frege（弗雷格）发展的谓词逻辑则使得多重量化成为可能。介绍这一现代进展前，让我们先介绍G. W. Leibniz的一些观点。

莱布尼茨引入了一套逻辑推理演算（calculus of logical inferences）。他认为句子的句法结构是其所表达的逻辑结构的映像，我们可以定义一个纯句法的程序用于证明句子。这导向了关于证明的句法概念，它允许所有句子仅通过句法转换便能确定是否可以被证明。这一系统优于亚里士多德逻辑，并被证明和布尔逻辑（Boolean logic）是等价的。莱布尼茨还引入了一套概念演算用来定义概念同一性、包含（inclusion）、容纳（containment）和加合（addition）。可惜的是他的工作几乎对逻辑学的普遍发展影响甚微。

忽略亚里士多德后直至19世纪一系列有趣的发展，我们可以将这一时段的许多逻辑系统刻画为下面的对当方阵（the square of opposition）：

Every S is P No S is P

∀x(Sx → Px) ↔ ¬∃x (Sx ∧ ¬Px)

∀x(Sx → ¬Px) ↔ ¬∃x (Sx ∧ Px)

contraries

contra-dictories

contra-dictories

subalterns

subalterns

subcontraries

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