多项式环 (3-2)

由此，多项式环的特征基本就理解了，多项式的加法是平凡的，多项式的乘法是复杂的，对于特定次数多项式族而言，只需要关注次数特征，就可以把握整体的图像特征，次数相同时可以降次，线性化，所以多项式理论是一种简单的非线性函数理论，f＝xⁿ＋L(xⁿ⁻¹) ，最高项体现非线性，剩余项可线性化。

这就是多项式环理论的直观特征。由此，可以用来直接探索高次多项式理论。说明一下，上面的图需要绘制二十七个函数，想要复现应该是比较麻烦的。

这个图应该很眼熟，因为学习幂函数时就会遇见，他刻画了多项式的特征。高次多项式根据奇偶性而差异，所以多项式环必然区分出两种类型。

二元多项式

然后，让我们考虑二元多项式环‬

R[x，y]

F[αbcdef]＝αx²＋by²＋cxy＋dx＋ey＋f

显然，二元多项式环的复杂度要高出很多，|R| |R| * |R||R|＝|R|²|R|，虽然在集合基数角度，这个指数并不大，但在数值上，这个指数非常大。可以说这个多项式的所有元素根本就表示不出来。 27 * 27＝729

所以，考虑上面的经验，使用典型函数族来表示。

这是线性函数族，也就是平面函数，这是与一元多项式不同的一点，他们所体现的拓扑性质是完全不同的，因为维度是一种拓扑不变量。所以，一元多项式环的结论，不能直接推广到多元多项式环。

整体上是这样的，可以说，很少有人会认为这些函数是基本的，因为我们过去操作的函数基本都是二维图形，这里是三维图形，复杂性很高，没有足够的空间想象力，很难把握。这就像三视图一般，人们的视觉本身就是二维的组合，三维物体首先要被分解，然后组合才能被人感知，这个过程并不轻松，所以，当人们使用三视图想象空间几何体时会很困难。

这是一次函数族f＝αx＋by

其实已经相当令人困惑了，明明都是平面，却感觉很难把握。所以直接在三维空间中操作几何形是一件极具挑战性的事情。

这是单变元二次函数f＝x²＋kx

这是正交网格，f＝x²＋kx，g＝y²＋ky

非常奇特，这两组图形的交是简单的，但本身又是复杂的，所以多元多项式的相交理论很不简单。

这是马鞍面函数族f＝kxy

与上面的函数组合之后，体现出来的是复杂的平面相交特征。就像直角网格与双曲网格的交一样。

这是二元平方函数族f＝mx²＋ny² ，看起来像一个冰淇淋筒，截面为椭圆或者圆。

最后是复杂二次曲面

f＝x²＋y²＋kxy＋x＋y

可以发现交错项影响极大，可以决定曲面类型。

由此，我们就粗略考察了二元多项式环的特征，发现规律非常复杂，基本函数族具有很多种类型，线性平面函数族，具有复杂性，单变量二次函数族，截面简单，整体复杂，两组变量构成正交网格，马鞍面函数族，性质复杂，一般二次曲面，多种类型，依赖于交错项。

整体上依然表现为高次项体现非线性，低次项刻画局部特征，还有一个特征就是交错项给出了新的非线性函数族。

所以多元多项式可以看组是基本非线性函数族与交错非线性函数族的相互作用产物。实际上启发我们考察这两种非线性函数族f＝xⁿ，f＝xᵐyⁿ

推广到任意元情形就是

n

f＝xⁿ，f＝xαyᵇ，f＝xαyᵇcᶻ，. . . f＝∏xᵢᶜⁱ

i＝1

这就是多项式环诱导的非线性函数族。

结束

通过这些图像，实际上我在寻找一个答案，为什么环是以乘法为基础的，环乘法为什么复杂？为什么要考察多个元素的乘法？

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