多项式环 (3-1)

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一元多项式 ▹

二元多项式 ▹

多项式环是基本的环，代数数论中的很多定义都是通过多项式环体现的，扩张，理想，整，代数闭，单位。但是多项式的复杂性众所周知，对于系数环R 而言，多项式环 R[x] 的复杂度可以认为是指数级的 [R]|ᴿ| ，即使对于最简单的环，多项式环的复杂性都高的让人难以忍受。

这就是数论与环论脱离实例的原因，算力不足，对复杂性的容忍程度不够，所以寄希望于通过巧妙的概念分类来把握复杂概念，结果代价就是理论非常抽象，概念非常多，关系极为复杂。很少有人能够学会。

那么不妨尝试容忍一些复杂性，看一看剩余类环的多项式到底是什么样子的。

一元多项式

依然以mod 3环为系数环，获得多项式环。绘制出图像

共计二十七种多项式，f[αbc]＝αx²＋bx＋c

整体上是以二次函数，以及一次函数，常函数构成的函数环，对于常数来说，性质很简单，可以看作实轴的平移。所以常函数本身可以构成代数封闭集合，α＋b，α * b ，实际上我们都知道他是系数环本身，所以系数环可以看作常函数环，他是多项式环的子集，由此环可以看作对多项式环的简化，这种观点更具有进步性，说明多项式环比环要基础，环论应该以多项式的运算性质为基本理论，可以消除很多错误的印象。

f＝b

然后我们引入一次函数，这就构成了一次函数集合，不是环，因为乘积可以是二次函数，这时情况已经开始复杂起来了，他代表的问题是，两个函数的乘积可能超越这个函数系统，导致新的函数类型。为什么？因为函数乘积是逐点乘积，对于一次函数来说，靠近原点，数值小，乘积数值更小，远离原点数值大，乘积起来数值更大，这就是为什么二次函数靠近原点和离开原点性质差异极大，因为乘积会放大差异性。

1 * 1＝1

2 * 2＝4

0.1 * 0.1＝0.01

所以函数乘积是很糟糕的运算，受局部影响很大。具有马太效应，强者愈强，弱者愈弱。非常不稳定。

f＝αx＋b

一次函数的加法特征依然具有周期性，反映的是直线的倾斜程度【函数加函数】以及平移特征【函数加常数】

f＝x²＋α

对于二次函数，平移特征都显得很难理解，同样是函数平移，在函数形状的干扰下，似乎靠近原点，平移分离性越强，离开原点，分离性越弱，仿佛平移变成了凸显的作用，这就是非线性规律的反直觉特征。他和人的经验是不一致的，非线性数学是反直觉的数学。

然后是二次一次结合的形式

f＝x²＋bx

这种规律是复杂的，即有平移又有下坠

f＝2x²＋bx

随着高次项系数增大，平移和下坠受到抑制，说明了对于多项式函数而言，高次项具有不可忽视的贡献，低次项影响很小，属于局部整形。

f＝x²＋2x＋k

f＝2x²＋k

比较两组函数的差异，可以发现高次项系数的收束作用。

最后获得主要函数族的图像，具有五种函数族

[0，x，2x，x²，2x²]

这就是mod 3多项式环的基本特征，他是一种典型的非线性函数环，其中函数乘法具有非线性特征，会放大局部差异，函数加法具有线性性质，通常体现为平移作用，可以是两个方向的平移。线性函数族性质简单，容易理解。非线性函数族依赖于最高次非线性项，低次项影响很小。

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