同余理论 (3-2)

其实，在数论中我们已经获得了这些知识，可分解代表了整除，也就是可以通过ℤα 生成，也就是说元素属于某一个理想，理想就是一种乘积等价类，可通过乘积连接的元素集合，可以定义为乘法可达性，乘法封闭集。可分解的元素必然落于模a的理想中，不可分解性质，一种是乘积不可达性质，也就是乘法无定义，就比如无乘法定义的集合，自然不能分解，还有就是单向元素，或者说乘法具有序结构， α → b → c ，这就是无幺半群，比如正自然数加法集合 [1，2，3，. . .；＋] 其中元素1就不具有理想，当然这里是把自然数加法看作了抽象乘法。这是乘法自身的缺陷导致的，无幺半群存在不属于任何理想的元素。所以对应的性质就是无幺环的理想论性质相当差，需要引入新的概念来定义无理想元素。带幺环保证了理想分类的有效性。

当乘法良定义时，所有的元素都归属于某一理想，这时的不可分解性来源于不匹配，比如2＝1 * 2 ≠ 3n ，元素属于一个理想，不属于另一个理想，所以在一个理想中可分解，在另一个理想中的不可分解。这就是整除理论，只有整除才具有可分解性。所以，数论本身就是元素与理想的匹配理论，自然的所有的数论内容都会围绕理想展开。所以代数数论是本质的，初等数论是表象，只要考虑同余与整除，理想的概念就会自然诞生。

上面讨论的是数论中的同余，而根据抽象同余理论的观点，任意代数结构都可以定义同余，所以函数论中也具有同余理论，最简单的就是多项式的同余，f ≡ gh，f ≡ f/g ，前者是多项式，后者则可以看作分式。多项式同余理论的难点在于多项式乘法的奇异性，乘法只会提升次数，不会降低次数，所以低次多项式具有基本的地位，可以构成多项式环的理想，这就是代数几何原理。将任意高次多项式分解为低次多项式的乘积组合。

但是，代数几何中出现了新的奇异性，那就是基本域的问题，函数需要定义在特定的数字结构上，这些数字结构所成的域或者环对多项式环具有深刻影响，整多项式的因式分解性质很差，有理多项式性质要好一些，但是实际上与整多项式差别不大。实多项式与复多项式的性质要好太多了。所以多项式理论很难处理，多项式本身具有奇异性的乘法结构，而基本域也具有奇异性。

一般的函数论则是考虑所有类型的运算，加减乘除，微分积分，算子映射，这些运算本身的关系就错综复杂，所以一般函数论的发展非常的缓慢，存在极大量的奇异结构，可分解计算情形反而是非常稀有的。每一个重要的可分解公式都可以诱导一种专门的函数理论。

在函数之外，还有其他形式的同余理论，几何形的同余理论，这个理论是陌生的，因为如何定义几何形的乘法都是个问题，不过，我们可以通过几何形的等价类间接定义，什么样的几何形是等价的？这就是几何形与变换群的内容了，在特定变换群作用下不变的几何形即为等价的，那么实际上所有的几何理论首先要搞清楚的问题就是等价变换群的形式与实现，这就是爱尔朗根纲领的含义，几何=变换群。所以几何形是一种对称结构，天然的保持着对称性，比如保形性，保持圆的形状，保持角度，保持距离，其实这代表了一种非常深刻的背景，同余理论的最自然载体就是几何学，当我们把同余所要求的等价类内蕴的定义为特定几何形时，就可以通过几何形的变换，组合与分解诱导出对应的代数理论。这就是数形结合的真谛。将代数等价转换为单独的几何形。

由此获得

代数空间 → 代数等价类空间 ⇔ 几何形空间 ← 几何形变换与组合

左边为代数理论，右边为几何理论，整体为代数与几何的统一性理论。

关键的联系就在于等价类如何转化为几何形，这种构造是非凡的，每一种具体实现都代表了一种非凡的数学理论。

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