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同余理论 (3-1)

在学习数论时,同余理论是绕不开的一环,但是,一个显著的问题就是同余问题非常复杂,多项式的同余方程解的数量远比多项式代数方程多,这种解的多样性导致了,对于一个一般的同余方程,根本就没有简单的方法获得所有的解。

f ≡ 0 mod α

f=0 ⇔ f ≡ 0 mod α

实际上,代数方程可以看作是模零同余方程,由此我们可以将方程转化为代数方程

f=kα

f=k0=0

可以发现,同余方程的实质是多项式的乘积分解。由此我们可以直接构建一般同余理论,或者说抽象同余理论。

抽象同余理论

【以下会直接使用深奥的数学概念,最好关注于模式,而不是具体的术语,如此才有可能体会到一些实质内容】

对任意结构的乘积分解获得的理论就是同余理论。

F=A · B

F ≡ 0 mod B

F ≡ 0 mod A

F=A · B+C

F ≡ C mod A,B

那么实际上同余理论是数学对象乘积结构的反结构。

也就是说,给定一个任意的数学对象空间,在其上定义乘法运算,由此获得乘积空间,考虑乘积空间上的方程或者曲面就可以获得满足方程的解,或者落在曲面上的点,这些解和点就是同余方程的解。

实际上意味着对于任意数学对象而言,只要存在乘积结构,就必然可以诱导同余理论,就像代数结构中,出现了乘法,就可以考虑乘法逆元一样。

同余理论与代数结构的差异在于,同余理论允许复杂的代数结构,也就是说运算不局限于乘法一种,可以包括加法,乘法,指数,对数,三角,任意算子,他们的综合运算构成的运算闭包就是方程,考虑这个方程的乘积分解性质就是同余理论。

也就是说

Alg[A,+,·,exp,ln,cos,sin,S[–]]=BC

左边指的是集合在任意多种代数运算下的运算闭包,右边则是集合中的元素乘积。

这让我想起来了泛代数理论中的同余与商代数。实际上,他建立起了商代数结构,也就是将运算定义在同余类上,或者说等价类上。

由此,我大概明白了泛代数在研究什么问题了,他研究的是各种代数构造的最一般推广形式,这些推广形式定义在极为基础的数学结构上,比如集合,幂集,偏序集,格上,因此,通常而言,泛代数是无法学习的,因为他所考虑的对象太过基本了,单纯学习理论没有任何意义,需要考察所有的经典代数结构,获得基本模式后,感到疑惑,由此询问模式本身的含义,才有学习的动机。

这就像过去,考虑范畴,对于乘法感到疑惑,由此深入半群,考察分析,对拓扑和序产生疑问,由此深入偏序集与格,考察环论与理想论,对于集合代数感到疑惑,由此深入幂集上的运算结构。具体理论是通往抽象理论的台阶。

由此,代数结构论可以看作是范畴论,而代数运算论就可以看作泛代数,代数模式论就是直觉模式,代数几何论就是图表示与动力系统,代数变换论为抽象群论。把这些具体领域一一搞清楚后,就能建立起来代数学的大统一理论。

有趣的设想。

具体同余理论

上面探讨了抽象同余理论的代数基础,商,等价类,乘积分解。下面考虑具体同余理论遇见的困难。

同余理论实际上为乘积分解,所以我们就需要考虑什么时候可分解,什么时候不可分解,假如可分解,意味着什么样的条件,假如不可分解,是什么导致了不可分解性?

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