实数八大定理的等价性证明 (3-1)

目录

引言 ▹

定理的内容 ▹

Cauchy收敛原理 ▹

单调有界原理 ▹

闭区间套定理 ▹

Dedekind分割定理 ▹

确界原理 ▹

有限覆盖定理 ▹

聚点原理 ▹

Bolzano-Weierstrass定理 ▹

等价性的证明 ▹

Cauchy收敛原理单调有界原理 ▹

单调有界原理⇒闭区间套定理 ▹

闭区间套定理⇒Dedekind分割定理 ▹

Dedekind分割定理⇒确界原理 ▹

确界原理⇒有限覆盖定理 ▹

有限覆盖定理聚点原理 ▹

聚点原理Bolzano-Weierstrass定理 ▹

Bolzano-Weierstrass定理⇒Cauchy收敛原理 ▹

引言

这里只选择其中一种环形路线证明八大定理的等价性。

定理的内容

Cauchy收敛原理

数列{αₙ} 收敛的充分必要条件为∀ε＞0，∃N ∈ ℕ，∀m，n＞N，|αₙ – αₘ|＜ε

单调有界原理

单调有界数列必收敛.

闭区间套定理

设

lₙ＝[αₙ，bₙ]，l₁ ⊃ l₂ ⊃ l₃ ⊃ · · · ⊃ lₙ ⊃ · · ·，且 lim (αₙ – bₙ)＝0，则存在唯一的实数 ↓

n→∞

＋∞

ξ ∈∩lₙ ←

n＝1

Dedekind分割定理

设A|B 是 ℝ 上的一个分割，则 A 有最大元和 B 有最小元有且仅有一个成立

确界原理

A ∈ ℝ 有上（下）界，则 A 必有上（下）确界.

有限覆盖定理

闭区间[α，b] 的任意一个开覆盖 A 都有有限子覆盖

聚点原理

ℝ 中有界的无穷集合必有聚点

Bolzano - Weierstrass定理

有界数列都有收敛的子列

等价性的证明

Cauchy收敛原理⇒单调有界原理

设{xₙ} 单调递增有上界，假设 {xₙ} 发散. 于是 ∃ε₀＞0 对任意 N ∈ ℕ，存在 m，n＞N

xₙ – xₘ＞ε₀

由 n 的任意性可得一子列 {xₙₖ}

xₙₖ＞xₙₖ₋₁＋ε₀＞· · ·＞xₙ₁＋(k – 1)ε₀ → ∞

与有界性矛盾

单调有界原理⇒闭区间套定理

设

lₙ＝[αₙ，bₙ]，l₁ ⊃ l₂ ⊃ l₃ ⊃ · · · ⊃ lₙ ⊃ · · ·

且 lim (αₙ – bₙ)＝0

n→∞

于是{αₙ} 单调递增有上界， {bₙ} 单调递减有下界

于是lim αₙ，lim bₙ 存在，分别记为 A，B

n→∞ n→∞

因为lim (αₙ – bₙ)＝0所以 A＝B

n→∞

∀n，αₙ ≤ A＝ξ＝B ≤ bₙ，于是

＋∞

ξ ∈ ∩[αₙ，bₙ]

n＝1

闭区间套定理⇒Dedekind分割定理

设A|B 是 ℝ 的一个分割， A∪B＝ℝ，A∩B＝∅

∀α ∈ A，b ∈ B，α＜b 取 α₁ ∈ A，b₁ ∈ B

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