实数八大定理的等价性证明 (3-2)

α₁＋b₁

c₁：＝───

2

若c₁ ∈ A，令

α₂＝c₁，b₂＝b₁

若c₁ ∈ B，令

α₂＝α₁，b₂＝c₁

以此类推有

[α₁，b₁] ⊃ [α₂，b₂] ⊃ · · ·[αₙ，bₙ] ⊃ · · ·

lim (αₙ – bₙ)＝0

n→∞

＋∞

于是存在 ξ ∈ ∩[αₙ，bₙ]

n＝1

若ξ ∈ B，∀b ∈ B，b＞αₙ

⇒ b ≥ lim αₙ＝ξ

n→∞

即ξ 为 B 中最小

Dedekind分割定理⇒确界原理

设非空集合E 有上界，

令B 为 E 的上界组成的集合，A＝ℝ – B

则A|B 形成一个分割

⇒ A B

若存在 α₀＝max A 且 B 中无最小，α₀ 不是 E 的上界，于是

∃e ∈ E，e＞α₀ ∃r ∈ ℝ，α₀＜r＜e

⇒r E α₀＝max A .

于是A 中无最大且存在 b₀＝min B，结论得证.

确界原理⇒有限覆盖定理

即证闭区间[α，b] 的任意开覆盖 H 都有有限的子覆盖

令

S＝{x│α＜x ≤ b，[α，x] H }

因为H 覆盖 [α，b]，从而存在 (α，β) ∈ H，α ∈ (α，β)，取 x ∈ (α，β)，则 x ∈ S，所以 S 非空，显然 S 有上界 b 。于是

∃ξ＝sup S

现证明ξ＝b，反设 ξ ≠ b，则 α＜ξ＜b，

因为H 覆盖 [α，b]，从而存在 (α₁，β₁) ∈ H，ξ ∈ (α₁，β₁)，取x₁，x₂ 使 α₁＜x₁＜ξ＜x₂＜β₁，则 x₁ ∈ S

于是 [α，x₁] 能被 H 中有限个开区间覆盖，把 (α₁，β₁) 加入 S ，就得到 x₂ ∈ S，与 ξ＝sup S 矛盾

有限覆盖定理⇒聚点原理

定义 (聚点) . 设 A ⊆ ℝ 若对于任意正实数 δ，◦U(x₀，δ) 中包含 A 中的点，称 x₀ 是 A 的聚点

证明：

设M＞0 A ⊂ [–M，M]，假设 A 没有聚点， ∀x ∈ [–M，M]，U (x₀，δ) 最多只含有 A 中一个点 x₀，由于

A ⊆ [–M，M] ⊆ ∪ U(x₀，δ)

x ∈ [–M，M]

于是可以从 ∪ U(x₀，δ)

x ∈ [–M，M]

中选出有限个开区间覆盖 A，而 A 是无限集，与 U(x₀，δ) 中最多只含有 A 中一个点矛盾。

聚点原理⇒Bolzano - Weierstrass定理

设A＝{xₙ} 有界，假如 A 是有限集，则必然有一项重复出现了无限次

xₙ₁＝xₙ₂＝xₙ₃＝· · ·＝xₙₖ＝· · ·

从而存在收敛子列。

若A 是无限集，则存在一个聚点 x₀ ∈ A

∀δₖ＞0，∃xₙₖ ∈ U(x₀，δₙ)

取

δ₁＝1，∃xₙ₁＝max (U(x₀，δ₁)∩A)，

xₙₖ – x₀

δₖ₊₁＝[───]

2

，∃xₙₖ₊₁＝max (U(x₀，δₖ₊₁)∩A)

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