最高级的数学抽象：范畴论 (5-1)

范畴论是数学中的一个高度抽象的分支，它为多种数学概念和结构提供了一个统一的框架。它最初由塞缪尔·艾伦伯格和桑德斯·麦克莱恩在20世纪40年代发展起来，主要是为了更深入地理解拓扑学中的结构，但后来发现它在许多数学领域都非常有用。

让我向你们介绍小明和小丽。 尽管他们是两个截然不同的人，我们仍然可以将他们统称为“人”。 这种将不同对象赋予同一名称的概念，虽然看似简单得近乎微不足道，但被认为是数学本质的核心。

法国传奇数学家亨利·庞加莱曾声称：

数学是给不同事物起同一个名字的艺术。

为了体会这种看似平常的命名概念的力量，我们来看看如何证明小明和小丽有足够多的共同点，可以给他们一个共同的名字。 首先，需要去除那些在判断一个对象是否为人时不相关的细节。 去除这些细节后，显而易见的是，小明和小丽虽然是不同的人，但他们有相同的内部结构。 因此，“人”这个标签，仅仅是给那些在剥去不必要细节后具有相同结构的对象的名称。

这种去除特定细节以揭示底层结构的技术称为抽象（abstraction），它可以说是数学家武器库中最有力的武器之一。

让我们在更数学化的语境中看一个例子，然后探讨如何使用抽象的过程来理解不仅仅是人和数字这样的对象，还有数学本身。

来看看简单的数线。 从负无穷大到正无穷大，你能想象到的每一个（实）数字都存在于这条永无止境的线上。 当在数线上左右移动时，我们常常会被似乎无穷无尽的小数点所淹没，这些小数看起来完全混乱不堪。

-2.533957..... 4.18003.....

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

但如果我们细心观察，就会发现这些让人讨厌的小数中有很多可以用两个整数的比的更简洁、更美观地表示。如果这种形式适用于这条线上的每一个数字就好了，但遗憾的是，有些数字并不能表示成这种形式，如π。

除去那些不能表示成两个整数之比的数字，如果我们仔细研究，会发现它们展示出一些有趣的特征。 例如，如果取这样的两个数字相加，

587 211 583

–──＋──＝──

250 70 875

结果似乎总是可以表示为两个整数的比。 这是显而易见的事实。 但我希望我们能真正思考一下。 为什么这是显而易见的？ 为什么不可能存在两个整数比相加后得到一个无法以这种形式表示的数字呢？

？ ？

─＋─＝π

？ ？

让我们看看“抽象”是否能帮助解决这个难题。 回想一下，抽象是一个过程，通过这个过程去除不相关的细节以揭示底层结构。 那么，让我们取一个任意的整数比，并找出哪些信息对我们来说不重要，以便找到它的内部结构：

161

──

53

这个具体的分子是161，分母是53，对我们来说没有多大用处。 最终，我们只关心分子和分母是整数，它们具体是哪些整数并不重要。 因此，我们去掉这些具体的数字，而换用更一般的符号，r如使用熟悉的字母‘a’和‘b’。

α

─

b

这就是任何整数比的内部结构！ 就像对人的抽象一样，我们可以给这个结构一个标签。 数学家称这种结构为“有理数”。 那么，既然已经找到了整数比的真正本质，就可以对这种结构进行运算，

α² α α α · α α²

─ ─ · ─ ── ─

b b b b · b b²

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