最高级的数学抽象：范畴论 (5-5)

由于这对任何以对象为起点的箭头都必须是真的，所以对第二个恒等箭头也必须有效，因为这两个起点和终点都是这个对象。

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id◦id＝id

考虑另一个方程。 由于带横杠的id也是一个恒等箭头，任何以该对象为终点的箭头，我们称之为g，与带横杠的id组合，必须是其本身。

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id◦g＝g

注意这里组合的顺序已经变了，但恒等箭头作为组合的单位意味着它在箭头之前或之后组合都会返回相同的箭头。 就像之前一样，这个方程对任何以该对象为终点的箭头都必须是真的，包括另一个恒等箭头。 现在让我们看看这两个方程，

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id◦id＝id

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id◦id＝id

注意它们左边是完全相同的！ 经过一些重新排列，我们得出结论：第一个恒等箭头等于我们的第二个恒等箭头。 它们从一开始就是相同的！

正如证明所示，无法存在两个不同的恒等箭头，它们必须是相同的。 不可否认这是一个相当简单的证明，但我希望我们能真正意识到这样一个简单证明的深远影响。 已经证明：对于给定的维度，只存在一个恒等矩阵；在函数编程语言中，每种数据类型只有一个恒等函数；从一个集合到其自身只有一种可能的恒等映射，所有这些都在一个简洁的小证明中得到了证实。

总而言之，范畴论让我们能够概括在如此多独立的数学、计算机科学以及更广泛领域中共享的行为。 我们从在学校学习的基础代数覆盖到了迄今为止可能是数学中最抽象的领域。 但最重要的是，我们看到这些研究领域是如何由同一个工具推动的。

我希望我已经让你相信，抽象这一强大的工具确实值得被称为数学家的武器。

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