最高级的数学抽象：范畴论 (5-4)

我们称这个箭头为它们的组合（Composition）。 为了确保组合的行为与集合论中的函数组合类似，我们要求如果将一个箭头与一个已组合的箭头组合，必须能够按任何顺序组合它们，并且最终得到相同的箭头。

(g◦f)◦h＝g◦(f◦h)

我们说箭头的组合必须是结合的（Associativity）。 例如，加法是结合的，因为（1+1）+1=1+（1+1）。那减法呢，（1-1）-1=1-（1-1）？。

最后，由于我们无法再用集合和元素来定义恒等箭头，我们将其定义为组合的单位，换句话说，要求每个对象都有一个循环箭头，与它组合时它什么也不做。

f◦id＝f

这就是我们得到的函数组合的内部结构。 就像我们给人和有理数的抽象形式起了一个共同的名字一样，数学家们称这种结构为范畴（Category）。 通过指定对象和箭头，以及定义箭头的组合并展示它们符合一些限制，可以展示许多不同的数学领域形成了一个范畴，这将意味着使用范畴构建的任何证明都立即在这些数学领域中有效。

如果你对这些具体例子不熟悉，也不用担心，我的目的是展示具有相同底层结构的广泛主题。 首先，如果对象是向量空间，箭头是矩阵，组合是矩阵乘法，恒等箭头是单位矩阵，我们就在线性代数领域定义了一个范畴。

Linear Algebra

1 0 √3 1

( ) ( )

0 1 ↷ –2 √2

ℚ² → ℝ²

↘ 2 –1

2 –1 √3 1 ↓ (0 1)

(0 1 ) ( ) –2 2

–2 2 –2 √2 ℝ³

或者如果对象是数据类型，箭头是它们之间的函数，组合和恒等箭头的定义与集合论中相同，我们就创建了一个模拟基本函数编程语言的范畴。

Functional Programming

id ↷ sqrt

lnt → Float

↘ ↓islnteger

islnteger◦sqrt

Bool

如果你有编程经验，为什么不试着弄清楚复合函数 'isInteger ○ sqrt' 对给定输入返回什么。 你能想出一个合适的函数名吗？ 也许直觉上不那么明显，让我们设对象为整数，两个整数之间的箭头表示第一个整数小于或等于第二个整数。 组合可以被认为是基于这样的事实：知道1小于2且2小于3，可以具体地说1必须小于3，因此我们可以在它们之间画一个箭头。

≤

1 → 2

≤ ↘ ↓≤

3

恒等箭头的存在仅仅因为每个数字都小于或等于它自己。 然后我们就基于整数的排序构建了一个范畴。 范畴论之所以非常有用，原因与抽象有理数的原因相同。 我们可以构建直接适用于所有这些不同数学领域的证明。

例如，考虑一个相对简单的证明：范畴中的每个对象只能有一个唯一的恒等箭头。 假设确实有一些对象在一个范畴中有两个恒等箭头，另一个恒等箭头用上面有横杠的id表示。

─

id & id

根据恒等箭头的定义，任何以该对象为起点的箭头，我们称之为f，与恒等箭头组合，恰好给出完全相同的箭头。

f◦id＝f

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