最高级的数学抽象：范畴论 (5-3)

年龄

人 → 整数

↘ ↓≥18？

≥ 18？◦年龄 {True，False}

在尝试使用抽象来揭示组合的本质之前，我们需要查看一个最后的细节。 考虑一个从人的集合映射到人的集合的函数。 有许多这样的函数，例如将一个人映射到他们父亲的函数。 但其中一个函数特别重要，一个将每个人映射到他们自己的函数。 我们称这个函数为恒等函数，或 id。 这似乎完全没用，但让我们看看当将它与一个更有趣的函数组合时会发生什么。 恒等函数和年龄函数的组合是一个将一个人映射到如21（她的年龄）的函数。

Age o id＝Age

注意，这与年龄函数的映射完全相同！ 换句话说，将“年龄”与恒等函数组合得到的是年龄函数。 与恒等函数的组合就像乘以1，它实际上什么也不做。

这个函数被证明是非常有用的，所以我们会将它添加到图表中。

id 年龄

↻人 → 整数

↘ ↓ ≥18？

≥ 18？◦年龄 {True，False}

每个集合都存在一个恒等函数，其定义为将集合中的每个元素映射到它自身，但我只在人的集合上显示了它，以避免图过于杂乱。 这就是集合论中的组合，虽然看起来非常小众，似乎不适用于其他地方，但事实证明，这样的组合是数学、计算机科学和逻辑中众多的领域的基石。

为了理解这一点，我们需要使用一些抽象。 你现在知道怎么做了，让我们看看哪些细节与组合无关，以便可以去除它们。 首先用字母A替换集合'人'，它简单地代表某个实体可以放在这个位置。 对其他两个集合做同样的处理，使用字母B和C。 我们将这些抽象的集合称为对象（object）。

id 年龄

↻A → B ← Object

↘ ↓ ≥18？

≥ 18？◦年龄 C

对函数做同样的概括，简单地用字母f和g来表示新抽象对象之间的某种关系，我们将这些抽象的函数称为箭头（Arrow）。

id f

↻A → B ← Object

↘ ↓g ↖ Arrow

g◦f C

重要的是要记住，尽管这个特定的图表有3个对象和任意两个不同对象之间的单个箭头，但这绝不是一个限制。 可以有尽可能多的对象，并根据需要定义它们之间的尽可能多的箭头，甚至允许有无限多的对象或箭头。 但为了保持图表的清晰和简洁，我只显示3个对象。

对于任意两个箭头，其中一个的结束是下一个的开始，

id f

↻ A → B

↓ g

C

总应存在一个可以切角的箭头，

id f

↻ A → B

g◦f ↘ ↓ g

↗

Composition C

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