最高级的数学抽象：范畴论 (5-2)

这就是我们熟悉的代数。初等代数简单来说就是应用于数字的抽象研究。 为了证明两个有理数的和也是有理的，可以取两个不同的任意有理数，并证明它们的和是有理的，

α c

─＋─

b d

首先，得到了这样的结果：

αd＋cb

────

bd

为了完成证明，需要再次应用一些抽象。 这次不相关的细节是分子和分母是如何组成的。 分母是整数的乘积这一事实对我们来说真的不重要，因为两个整数相乘总是得到另一个整数，我们用另一个任意整数替换这个乘积，

bd＝q

同样的方法对分子进行处理，用n替换ad，用m替换cb。 最后，我们可以推理，任何两个整数的和也必须是整数，这意味着可以再次用另一个任意整数替换分子，

n＋m＝p

所以，经过所有这些抽象之后，我们得到的事实是某个有理数加上另一个有理数等于p/q，其中p和q是一些整数。

α c p

─＋─＝─

b d q

这个结果也是有理的！ 因此，我们可以说任意两个有理数的和也必须是有理的，这一点是真实而且被证明的，通过抽象的力量。

抽象的例子

在数字的抽象上，观察其他数学领域如何基于抽象也是一种启发性的练习。 简要概述几个例子：群论是对称性的抽象，环论是基础算术的抽象，图论则是关系的抽象。

到目前为止，我们讨论的抽象主要是将相对具体的对象和现象转化为数学结构，但在20世纪中叶，两位数学家通过抽象一个更基本的概念开辟了一个新的研究领域。范畴论的研究是组合的抽象。 在探讨这种抽象如何使我们能够合理地讨论看似无关的数学、计算机科学和逻辑领域之前，让我们先了解一下组合的含义。

集合论‬

集合论几乎是理解组合的最好方式，这是数学中一个庞大且极其基础的部分。 集合论研究的是集合，一组事物的集合。 集合论的另一个关键部分是研究如何关联集合，这是通过函数完成的。 函数是一种将一个集合中的每个元素分配给另一个集合中的元素的方法，这种分配也称为映射。 例如，

• 函数'年龄'可以将集合'人'中的每个人分配给集合'整数'中对应该人年龄的数字。

• 另一个名为'＞=18'的函数可能是一个将每个整数分配给真或假的函数，具体取决于它是否大于或等于18岁。

年龄

人 → 整数

↓ ≥18？

{True，False}

通过整齐地排列集合，并在对应的箭头旁边写上函数，这些箭头表示函数是如何从一个集合映射到另一个集合的，使这一过程更形象化。

假设有一次选举，只有“人”集合中年满18岁或以上的人能投票。 我们如何找出哪些人有资格投票呢？ 我们可以使用“年龄”函数来找出每个人的年龄，然后使用我们的“＞=18”函数来检查他们是否年满18岁。

但有没有更快的方法呢？ 幸运的是，有更快的方法。 当有两个函数，其中一个的结束集合与另一个的开始集合相同时，总是可以创建一个新的函数，将它们简单地连起来。 在这个例子中，它会直接将一个人映射到真或假上，这取决于他们的年龄是否大于18岁。 我们说这个函数是函数“年龄”和“＞=18”的组合，我们将这个新函数写作

≥ 18？◦Age

函数的顺序可能会引起混淆，但将圆圈读作“遵循”可以帮助理解，所以这个函数应该读作“＞=18遵循年龄”。 由于这个新函数从一个人映射到真或假，我们可以将其以对角线箭头的形式添加到图表中，作为从“人”集合直接到真值集合的快捷方式。

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