最重要的数学概念之一：完备性 (3-1)

在初级分析课程中，学生们首次学习到序列收敛这一概念时，他们会接触到两个主要的数学概念：序列（sequence）和极限（limit）。序列是由一系列按照特定数学规则排列的元素组成的，而极限则是一个更抽象的概念，描述的是当序列中的元素不断接近某个特定值时，序列的行为趋势。

为了严格定义收敛的概念，序列的元素和极限候选值l之间存在不可分割的联系。

在初学者的示例中，当极限值非常明显时，这种方法效果很好。例如，对于序列 1/n，随着 n 的增大，序列的值显然趋向于 0，这是一个容易观察和理解的极限。但也存在一些情况，序列的极限值可能不那么明显或者直接。

因此，问题就出现了：在这些情况下我们是否陷入困境？是否在所有情况下都绝对需要一个极限值？因为随着分析课程的深入，收敛的概念是极其重要的基础，因为它支撑着课程中其他更高级和复杂数学理论和技术的学习与发展。因此，如果能够定义一种收敛概念，使其不直接依赖于极限值本身，而是基于序列内部的性质或行为（例如序列的项之间的相对距离逐渐减小），这将使得收敛的判断更加灵活且普遍适用。

柯西

柯西于1789年出生在法国巴黎，被广泛认为是数学各个领域的最多产的贡献者之一，包括微分方程、弹性力学、群理论等领域。但他对分析学科最持久的影响是在极限、连续性和收敛的基本概念中引入的严格性，这些都是每个本科数学分析课程的基本内容。

柯西序列

A sequence {xₙ} is convergent if for every arbitrarily small positive number ϵ， there exists a positive integer N such that for all integers m，n ≥ N，the absolute difference between xₙ and xₘ is less than ϵ：

|xₙ – xₘ|＜ϵ for all m，n ≥ N.

上述定义是柯西在其开创性作品《皇家工程学院分析课程（Cours d’analyse de l’École Royale Polytechnique）》中描述的收敛基本概念的非常现代的阐述。该概念是，当我们说一个序列收敛时，意味着序列中的项（元素）随着索引（通常表示为 n）的增加，它们彼此之间或者与某个固定值（称为极限）的距离会无限地减小，最终趋近于零。在上述定义中注意两个关键细节：

1. 在数学中，一个序列如果是柯西序列，它的定义不需要指定一个具体的极限值 l 作为收敛的目标。柯西序列的定义是基于序列中任意两项之间的距离随项的索引增加而不断减小，最终趋近于零，而不必事先知道这个序列最终会趋近于哪个具体的数值。

2. 距离的概念，这里通过模（或在泛函分析中的范数）定义，是确立收敛现象的关键。这一点很重要，因为这个概念可以在度量空间理论中得到推广，我们可以在最意想不到的对象集合中发现柯西收敛，比如在一个紧集上所有连续函数的集合。这种推广是泛函分析的基石，泛函分析是一个具有广泛应用的影响深远的数学领域。

显然，柯西的概念提供了一个更有用的抽象框架，用于探索在极限不非常明确的空间中的收敛性。

一个不完备（完全，完整）的空间（An Incomplete Space）

考虑以下在有理数空间 Q 中的序列：

2

xₙ＋─

xₙ

x{n＋1}＝───

2

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