最重要的数学概念之一：完备性 (3-2)

显而易见，这个序列中的每个元素都是有理数。但是，当 n 趋向于无穷大时，这个序列是否收敛到一个值？这很容易解决，如果我们假设极限为 l，则上述等式变为一个二次方程（用 l 替换 x_n+1 和 x_n）。但是，解是根号2，显然这不是有理数。所以这给了我们一个空间，其中有收敛到该空间之外的点的序列。可以把它想象成数线上的孔洞，在分析术语中，这个空间将被称为不完备的。

泛函分析中一个更复杂的不完全空间的例子是连续函数空间，带有 L 无穷范数或“sup”范数，定义为两个函数 f_n 和 f_m 之间的距离：

||fₙ – fₘ||∞＝sup|fₙ(x) – fₘ(x)|

x∈ℝ

上述是一个有效的度量定义，可以在连续函数空间中定义柯西序列，即上述度量即“接近”的度量。本质上，上述度量表明两个函数之间的“距离”将是两个函数在其定义域中所有点上的绝对差值的最大值或最小上界。现在我们定义了所谓的“S型函数”的序列。

1

fₙ(x)＝───

1＋e⁻ⁿˣ

该函数的形式如下，当 n=1 时，随着 n 的增加，曲线部分越来越接近于 y 轴平行：

可以轻松检查出，函数序列是柯西序列。而且不用深入证明，我们可以直观地看到，这一函数序列最终收敛于 Heaviside 阶跃函数，该函数在 x＞=0 时取值为 1，否则为 0。下面的 gif 显示了随着 n 的增加，序列的收敛情况。作为参考，可以看到序列中每个函数与阶跃函数之间的无穷范数随着 n 的增加而任意减小。

但这里有什么问题呢？Heaviside 阶跃函数是不连续的！事实上，它是最简单的在 x=0 处不连续的函数示例之一。所以我们面对的是一个柯西序列的序列，并没有收敛到空间中的任何“点”（在这个案例中是一个函数）。因此，这个空间是“不完整的”。

那么是什么导致了这种不完整性呢？是范数还是空间？结果显示，在一个无界域上定义的连续函数空间会导致这样的收敛模式。上面的 S 形图似乎显示值在 x 负方向上迅速趋向于零。但从数学上不难看出，这些值永远不会为零，只是随着 x 趋向于无穷大而逐渐接近零。下面的图表显示了一个极度放大的 S 形图（对于 n=1），仅在 x = -98 处，距离 y 轴的距离接近 10^(-43) 的数量级，虽然非常小但不为零。在 x 轴的正方向上也出现了相同的情形，其中 y=1 的线。

因此，如果我们允许连续的 S 形函数的域是无界的，即整个 R，那么它肯定会收敛到 Heaviside 阶跃函数，因为点态极限允许在两边分别接近 y=0 和 y=1。因此，这个空间将不是完整的。因此，实现完整性的最简单方法是将这个无界域切割为更好的东西，比如紧集 [a,b]。这样的切割确保没有任何 S 形序列会接近 0（或 1）。而且令人惊讶的是（或者说并不惊讶），这就是确保这个空间完整性所需要的全部。这是泛函分析中的一个著名结果：

集合 [a,b] 上的连续有界函数空间 C([a,b]) 关于 sup 范数是完整的。

保持一致性

除了是确保空间完备性的基础原则之外，柯西序列还在增强连续函数空间的额外有利属性方面发挥着重要作用。正如本文前面详细介绍的，描述连续函数的一种有用方式是它将收敛序列通过映射转化为收敛序列。

如果你有一个序列，其中的数值随着序列的进展逐渐靠近某个点，那么当这个序列经过一个连续函数的处理后，新生成的序列的数值也会逐渐靠近某个点。这是连续函数保持序列收敛性的一种表现。

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