格林函数（一） (3-3)

我们已经知道答案：它是δ函数。

盯着δ函数的筛选性质（方程 11），你应该认识到它是以卷积的形式写的。δ函数在将两个函数进行卷积时充当恒等算子。换句话说，δ函数有点像 1。

这种联系并非凭空而来。我们可以在傅里叶变换的背景中看到这种暗示。δ函数可以通过傅里叶变换表示。我们可以看到傅里叶表示的形式是取 1 的逆傅里叶变换：

1

δ(x – x')＝── ∫∞₋∞ eⁱω(x – x') ↓

2π

1

dω＝── ∫∞₋∞ 1 × eⁱω(x – x')dω

2π

方程 13

卷积和内积

在回到格林函数之前，我上面提到，我们的类比到正常乘法的限制是缺乏明确定义的逆。我们可以通过卷积最常见的应用“移动平均”或低通滤波器来了解这一点。

例如，让我们拿一张图片并与高斯函数进行卷积。

卷积

→

使用高斯卷积对金毛犬进行低通滤波

对图像进行二维卷积通常会使其明显模糊。消除一些模糊并非不可能(反卷积是图像处理中的一个老话题)，在实践中，卷积的滤波效果将高分辨率信息映射为零。在线性代数的语言中，存在非平凡的零空间，所以这个运算是不可逆的。

虽然它不是数字正常乘积的完美类比，但卷积确实符合向量内积的所有条件。在不将这变成一整套线性代数课程的情况下，内积是我们三维空间中常规向量点积的概括。

u · v＝uₓυₓ＋uyυy＋uᴢυᴢ＝|u| |v| cos θ

方程 14

其中 θ 是向量 u 和 v 之间的角度。

• 在普通的（3D）空间中，向量只是箭头。它们指向一个方向并具有长度，我们称之为大小。分量是指向上或向下、向左或向右等方向的分量。

内积只是一个规则，或一个映射，用来将两个向量映射到一个数字。通过方程 14，规则是取每个方向（x，y，z）的分量，将这些分量相乘并求和。

现在将其与方程 12 中卷积的定义比较，我们可以看到卷积所做的事情相同，只是使用的是函数：我们在每个点乘以两个函数并求和。更一般地，我们定义函数 f 和 h 之间的内积：

〈f，h〉＝∫∞₋∞ f(x)h(x)dx

方程 15

卷积实际上只是函数向量空间中的内积，其中一个函数按我们选择的量进行了移位。或者你可以这样说，卷积代表了与一些函数集相关的一组内积，这些函数通过移位函数参数联系起来。

现在在普通的 3D 空间中，我们可以将任何向量表示为三个单位向量（每个方向长度为 1 的向量）的和，其中每个方向是一个维度。我们说这些向量跨越了整个向量空间，这意味着我们可以写出任何向量：

v＝υᴢˆX＋υyˆy＋υᴢˆZ

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