格林函数（一） (3-2)

对于像 d/dx 这样的简单微分算子来说就是这种情况。在量子力学中，任何可观测的量，即对应于真实测量的 L，都要求是自伴随的，以便测量的量（本征值）是实数。

也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。

对于自伴随算子，格林函数也满足：

LG(x，x')＝δ(x – x')

方程8

这也是你在实践中最常见的定义方式。

有了方程，如何理解它呢。由于 L 是任意的，因此 G 也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。

δ函数

回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数

∫∞₋∞δ(x – x')dx'＝1

方程9

以及

δ(x ≠ x')＝0

方程10

δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”

∫ f(x')δ(x – x')dx'＝f(x)

方程 11

这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。

1 x²

δ(x)＝lim ──── exp ( –─ )

√2πε² 2ε²

高斯序列表示的函数

1 x

δ(x)＝lim ─ sinc (─)

ε→0 ε ε

正弦序列 (sin x / x) 表示δ函数

在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（convolutions）。

卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为 f(x) 和 g(x)，但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为 x。

f * g＝∫ f(x')g(x – x')dx'

方程 12

它们是将两个函数“混合”在一起的方式，在信号处理中发挥着基础作用，并因此扩展到机器学习，你可能听说过卷积神经网络。对于这个讨论，让我们将卷积视为一种函数的乘法方式。

我将声称，卷积就像数字的正常乘法。我们可以通过查看一些性质来强调这一点。

• 由于卷积是一种积分，它是线性的，或者遵循分配律：

f * (αg₁＋βg₂)＝αf * g₁＋βf * g₂

• 此外，它是交换的：

f * g＝∫ f(x')g(x – x')dx'＝∫ f(x – x')g(x')dx'＝g * f

• 和结合的：

f * (g₁ * g₂)＝(f * g₁) * g₂

就像正常的乘法一样。

此外，两个函数的卷积也是一个函数，就像数字乘法一样，两个数字相乘的结果也是一个数字。

要证明这些，只需明确写下积分。前两个从微积分的规则中立即得出。最后一个需要函数在某种程度上行为良好，允许我们改变积分顺序，但对于物理相关的函数，这通常是这样的。

然而，这不是一个完美的等价。一个（大）问题是定义逆，即卷积类比的 a^(−1)，使得 a × a^(−1) = 1。换句话说，我们如何“去卷积”两个函数？这个问题通常是不适定的。更多关于这个的讨论在下面。

但另一个问题是身份。我们需要一些起到乘以1的作用的东西。我们知道 f(x) × 1 = f(x)，对任何 f 都成立，但哪个函数 I(x) 满足：f(x) * I(x) = f(x)？

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