格林函数（二） (3-1)

方程 16

x 帽是 x 方向的单位向量。其他方向也是如此。

我们可以将分量 v_x, v_y, v_z 定义为与单位向量进行点积的结果：

〈ˆx，v〉＝ˆx · v＝υₓ

那么函数的“分量”的等价物是什么呢？查看方程 15 中内积的定义，这个分量就是f(x)或者函数在x点的值。

这就是函数向量空间和普通三维空间的巨大区别。如果我们考虑的是为所有实数x定义的函数，这意味着向量或函数，有无穷多个分量。换句话说，函数向量空间有无限维。

这确实引入了一些复杂性（例如，随着 x -＞ 无限大，内积 15 可能会增长到无限大），我们现在将忽略这些细节，假设函数都表现良好。

有了这种对 f(x) 的理解，让我们重新写筛选性质

f(x)＝∫ f(x)δ(x – x')dx'＝∫ δ(x' – x)f(x)dx'

方程 17

认识到积分是内积，这与下式相同

f(x)＝〈δₓ，f〉

方程 18

其中我使用 δ_x 作为位置 x 的 delta 函数的简写。

由于 f(x) 类似于在位置 x 的 f 的“分量”，与位于 x 处的 delta 函数取内积类似于与单位向量取点积。或者换句话说，delta 函数就像函数向量空间中的单位向量，挑选出位置 x 处的值或分量，就像 3D 空间中的普通点积一样。

所以让我们回顾一下。我们介绍了关于 delta 函数的两种思考方式：

• 它在函数卷积中扮演恒等角色，或乘以 1 的角色。换句话说，delta 函数有点像 1。

• 在考虑函数的向量空间时，函数扮演着“单位向量”的角色。将“点积”与δ(x - x ')相乘，得到向量在位置x处的分量，也就是函数在x处的值，或者f(x)。

最后一件事：到目前为止关于内积的讨论是关于实值向量的。扩展到复值空间很简单，只需要对第一个参数取复共轭。

对于实变量上的函数：

〈f，h〉＝∫∞₋∞ f*(x)h(x)dx

方程19

这可能是一个次要点，但在开始思考量子力学中的格林函数时很重要。

回到格林函数

思考格林函数的一个提示

有了对δ函数的理解，让我们回到格林函数的问题（方程 6）。

L†G(x，x')＝δ(x – x')

或者如果算子是自伴随的：

LG(x，x')＝δ(x' – x)

如果δ函数类似于 1 或恒等函数，那么格林函数似乎类似于线性算子 L 的逆。

为了更清楚地看到这一点，让我们回到原始问题，

Lu(x)＝f(x)

如果格林函数类似于 L 的逆，如果乘以 G，即与格林函数取内积，则可以“撤销” L 的作用并求解 u。

〈G，Lu〉＝〈G，f〉

方程 20

根据伴随的定义（方程 7），我们可以将 L 作用于 u 替换为 L 的伴随作用于 G。根据格林函数的定义，这与δ函数相同。

〈G，Lu〉＝〈L†G，u〉＝〈δₓ，u〉＝u(x)

方程 21

对于右手边：

u(x)＝〈G，f〉＝∫ G(x，x')f(x')dx'

方程 22

就是这样。如果格林函数 G，我们通过与源函数 f 取积分来求解 u，类似于用 L 的逆乘以 f。

G ∼ L⁻¹

方程 23

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