格林函数（一） (3-1)

假设你在一个大房间里，房间里有很多灯泡。每个灯泡都有一个开关，但这些开关并不在灯泡旁边，而是在房间的另一头。现在，想象有一个特殊的“帮手”（我们可以称它为格林函数），这个帮手知道如何最快最好地从一个开关跑到对应的灯泡，然后打开它。当你告诉这个帮手去打开某一个特定的灯泡时，他会找到最快的路线，确保灯泡亮起来。这就像是一个魔法，帮你解决了“如何快速打开远处灯泡”的问题。

在现实生活中，科学家和工程师使用格林函数来解决类似的问题，不过他们处理的是电流、声音或光的传递，而不是灯泡和开关。他们要找出一种方法，快速有效地从一个地方传送信息或能量到另一个地方。所以，格林函数就像是一个超级聪明的帮手，它知道如何在很复杂的环境中找到最好的解决方案，帮助科学家和工程师做出重要的计算。

这篇文章将从一个不同的角度来接近格林函数，着眼于物理学中的特定偏微分方程（PDS）。如果你是格林函数的新手，这篇文章将很适合你。

为了引出试图解决的问题，假设我们正在解决以下形式的问题：

Lu(x)＝f(x)

方程 1

L 是某个线性运算符，f(x) 是一个源函数，u(x) 是要求解的函数。所谓“线性”，是指 L 对 u 的和的作用与 L 分别对每个 u(x) 的和相同。换句话说，L 遵守分配律：

L(αu₁＋bu₂)＝αLu₁＋bLu₂

方程 2

其中 a 和 b 是常数。你可能会认为线性条件很限制，但事实证明，自然界的现象在某些情况下是线性的。

在研究电力时，我们感兴趣的是找到电势能，也就是已知电荷密度 ρ(r) 时的电压乘以电荷，由泊松方程给出：

r

–∇²(r)＝─ ρ(r)

ϵ₀

方程 3：电静力学中的泊松方程

倒三角符号平方被称为拉普拉斯算子（Laplacian）。它定义为每个方向上的二阶偏导数之和。在物理学中经常出现，因此值得定义：

∂² ∂² ∂²

∇²＝──＋──＋──

∂x² ∂y² ∂z²

拉普拉斯算子

在光学中，我们解决一个类似的方程，称为亥姆霍兹方程（Helmholtz equation），其中我们求解具有某个源 S 给定的波矢的光波的电场 E：

(∇²＋k²)E(r)＝S(r)

方程 4：光波电场的标量亥姆霍兹方程‬

亥姆霍兹方程在形式上非常类似于我们在量子力学中解的与时间无关的Schrödinger方程。

ℏ

(──∇²＋V(r))ψ(r)＝Eψ(r)

2m

方程5

解决这些方程可能非常困难，因此如果我们能解决更简单的问题就好了。这就是格林函数的用武之地。

算子 L 的格林函数解决了相关问题：

L†G(x，x')＝δ(x – x')

方程 6

L† 是 L 的伴随算子。我们用称为内积的东西来定义一个算子的伴随，我们将在下面进一步解释，但目前来说，它是一种特殊的函数相乘方式。给定一个 L，其伴随满足：

〈L†u₁，u₂〉＝〈u₁，Lu₂〉

方程7

关于伴随的细节我推荐华盛顿大学的 Nathan Kutz 的网络课程。

在实践中，我们处理的算子通常是自伴随的，或者是厄米的。

L†＝L

厄米或自伴随算子

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