格林函数（二） (3-2)

需要明确的是，像与普通乘法的卷积一样，这并不是一个完美的等价。L 甚至可能是不可逆的，但仍然可以有格林函数。这更多是一种关于 G 的“操作性”思考方式。

你应该开始看到格林函数的威力了。如果我们直接解原始问题，我们只需要解一个特定的源函数。对于格林函数，我们可以求解任意选择的源，但是要“反转”算子L。

关于格林函数的一个重要细节是它们总是至少有两个参数的函数，我们称其为x和x ' G(x, x ')格林函数似乎是一种将x '处的源和x处的解联系起来的方法，我们在x处求解u的值。

看看方程 22 的右手边，你可以看到积分接近卷积的形式。如果 G(x, x′ ) = G(x–x ′ )，它将是精确的。事实证明，如果线性算子 L 具有平移对称性，通常会出现这种情况。例如，当算子是常数系数的导数之和时，如拉普拉斯算子。在这些情况下，确实有一个完全的卷积。

u(x)＝∫ G(x – x')f(x')dx'＝G * f

方程 24

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程 3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度 ρ(r) 表示。

1

–∇²V(r)＝─ ρ(r)

ϵ₀

泊松方程

其中 ϵ0 是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

ρ(r)＝–eδ(r)

方程 25 电子的电荷密度

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷 +e 的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

ρ(r)＝＋3eδ(r)

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

因为钕喜欢失去3个电子。

这告诉我们的是，泊松方程的格林函数是点电荷的电势，模取常数。

由于任意电荷分布按定义是点电荷的总和，且因为泊松方程是线性的，因此电势是具有权重因子 ρ(r) 的格林函数的总和。

这就是我们对函数的数学理解作为一种“单位向量”的由来。一般来说，求解格林函数类似于将源f(x)分解成一堆点源，求解任意位置的源，然后求和。

那么解呢？实际上有一个巧妙的方法可以使用傅里叶变换求解泊松方程的格林函数，但这篇文章已经太长了，所以我只引用答案。

对于格林函数我们有：

1 1

G(r，r')＝–─ ───

4π |r – r'|

方程 26：泊松方程的格林函数

给定 ρ(r) 的完整解为：

1 ρ(r')

V(r)＝─── ∫ ─── dV

4πϵ₀ |r – r'|

方程 27

总结

回顾一下，这篇关于格林函数的文章的两个主要信息。

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