SEP：阿尔希塔斯（四） (5-2)

3.2 逻辑学作为主导科学

在片段 B4 中，阿尔希塔斯断言，“逻辑学在智慧方面似乎确实远远优于其他技艺”。阿尔希塔斯所说的“逻辑学”是什么意思？这似乎是他对数字科学的称呼，在片段 B1 中，数字科学被列为四门姊妹科学之一。片段 B4 或阿尔希塔斯的其他文本中，根本没有足够的语境，仅从阿尔希塔斯的用法来确定逻辑学的含义。我们有必要在一定程度上依赖柏拉图，他是早期唯一一位广泛使用这个术语的人物。后来出现的逻辑学概念，认为逻辑学处理的是有数字的事物，而不是数字本身，这种概念出现在例如杰米努斯的作品中，不应该归功于柏拉图或阿尔希塔斯（Klein 1968；Burkert 1972a，447 注 119）。在柏拉图那里，“逻辑学”可以指日常的计算，也就是我们所说的算术（例如 3 × 700 = 2,100；见《希庇亚斯篇》366c）。然而，在其他段落中，柏拉图将逻辑学与算术 (arithmêtikê) 相提并论，并将两者视为共同构成了数字科学，而对数字的实际操作就是建立在这门科学的基础上的（Klein 1968，23-24）。算术和逻辑学都处理偶数和奇数。算术关注的不是数量，而是数字的种类（《高尔吉亚篇》451b），从偶数和奇数开始，大概一直延续到我们后来在尼科马修斯那里发现的类型（《算术入门》1.8-1.13），例如素数、合数和偶次偶数。另一方面，逻辑学关注的是数量，即“奇数和偶数本身以及彼此之间的数量”（《高尔吉亚篇》451c）。逻辑学的一部分内容，可能是对各种平均值和比例的研究，这些研究的重点是数字之间的数量关系（例如，尼科马修斯，《算术入门》II. 21 ff.）。在片段 B2 中，当阿尔希塔斯定义与音乐相关的三个平均值类型（几何平均值、算术平均值和谐波平均值）时，他可能会认为自己是在研究逻辑学。每当三个项之间的关系是这样的：第一个项与第二个项的比率，等于第二个项与第三个项的比率时（例如，8 : 4 :: 4 : 2），就会出现几何平均值；而当三个项之间的关系是这样的：第一个项超过第二个项的数量，等于第二个项超过第三个项的数量时（例如，6 : 4 :: 4 : 2），就会出现算术平均值。阿尔希塔斯像柏拉图（《理想国》525c）一样，不仅在这种狭义的相对数量研究的意义上使用“逻辑学”，而且还用它来指代包括算术在内的整个数字科学。

为什么阿尔希塔斯认为逻辑学优于其他科学？在片段 B4 中，他特别将逻辑学与几何学进行了比较，他认为逻辑学 (1)“比几何学更生动地处理它所希望处理的东西”，(2)“能够完成”几何学无法完成的“证明”，即使“在对形状的研究中也是如此”。最后这句话令人惊讶，因为对形状的研究似乎应该是几何学的专长。解释阿尔希塔斯这句话最常见的方式是，假设他是在论证逻辑学在数学上优于几何学，因为某些证明只有借助逻辑学才能完成。Burkert 认为，这是怀疑该片段真实性的一个理由，因为事实似乎恰恰相反。阿尔希塔斯可以通过他对立方体倍积问题的解法，用几何的方法确定 2 的立方根，但不能用算术的方法做到这一点，因为 2 的立方根是一个无理数（1972a，220 注 14）。然而，其他学者指出，几何学中的某些证明确实需要借助逻辑学（Knorr 1975，311；Mueller 1992b，90 注 12），例如，要认识到正方形的对角线与边长是不可公度的，就需要逻辑学，因为当两个量“彼此之间的比率不是数与数之间的比率”时，就会出现不可公度（欧几里得 X 7）。这些说法表明，在某些情况下，逻辑学可能优于几何学，但它们并没有解释阿尔希塔斯更普遍的断言，即逻辑学比几何学更清楚地处理它想处理的任何问题。

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