SEP：阿尔希塔斯（三） (6-3)

Brisson（2013）对这些证据持怀疑态度，并得出结论，阿尔希塔斯从未解决过立方体倍积问题。他认为，如果在他那个时代就存在对这个问题的解法，那么柏拉图就会提到它，而且，托名阿尔希塔斯的解法中所使用的数学，对他那个时代的人来说是不可能的，因为它使用了圆锥曲线，而圆锥曲线直到 3 世纪才发展起来（2013：220-1）。然而，虽然柏拉图确实批评了他那个时代的立体几何的状态，但他也肯定地说，有人在研究它，而且他们的一些成果具有魅力和美感（《理想国》528c-d）。阿尔希塔斯的立方体倍积问题完全可以被列入这些成果之中。此外，阿尔希塔斯解法中使用的数学，绝不依赖于圆锥曲线，而是依赖于欧几里得《几何原本》第 1、3、4、6 和 11 卷中出现的数学，这些数学依赖于阿尔希塔斯活跃的 4 世纪的几何学（Heath 1921，Knorr 1986，Mueller 1997 和 Menn 2015 都认为这些数学适合阿尔希塔斯）。生活在阿尔希塔斯之后两代人的梅奈赫莫斯，是第一个使用圆锥曲线解决这个问题的人（见 Menn 2015：415-6）。Brisson 不得不否定这样一个明确的传统，即早在 4 世纪，欧德谟就已经知道了阿尔希塔斯的解法，并假设这个解法是由后来的传统中的一位编纂者发展出来的，但这样一个编纂者不可能发展出这个解法中复杂的数学，而且，如果他是一位如此有成就的数学家，他就会把它归功于阿尔希塔斯，这是不可信的。

2.2 音乐与数学

早期希腊科学最惊人的发现之一是，音乐的基本音程，即八度音程、四度音程和五度音程，对应于弦长的整数比。因此，如果我们拨动一根长度为 x 的弦，然后拨动一根长度为 2x 的弦，我们就会听到这两个声音之间相隔一个八度音程。如果两根弦的长度之比为 4 : 3，我们就会听到一个四度音程，如果长度之比为 3 : 2，我们就会听到一个五度音程。这种音乐声音现象受整数比支配的发现，一定在毕达哥拉斯学派的观念中发挥了核心作用，菲洛劳斯首先表达了这种观念，即所有事物都是通过数来认识的（DK 44 B4）。和声理论的下一步，是用数学比率来描述整个八度音阶。最早对音阶的这种描述，出现在菲洛劳斯的片段 B6 中。菲洛劳斯认识到，如果我们从任何一个音符开始，向上移动一个四度音程，然后再向上移动一个五度音程，那么最终的音符将比第一个音符高一个八度。因此，八度音程是由一个四度音程和一个五度音程组成的。用数学术语来说，支配五度音程 (3 : 2) 和四度音程 (4 : 3) 的比率，是通过将这些项相乘来相加的，从而产生一个八度音程 (3 : 2 × 4 : 3 = 12 : 6 = 2 : 1)。比起始音符高四度的音符和比起始音符高五度的音符之间的音程，被认为是音阶的基本单位，即全音，它对应于 9 : 8 的比率（比率的减法是通过将这些项相除或交叉相乘来进行的：3 : 2 / 4 : 3 = 9 : 8）。因此，五度音程被认为是一个四度音程加上一个全音，而八度音程可以被认为是两个四度音程加上一个全音。四度音程由两个全音和一个余数组成，这个余数的比率是 256 : 243 (4 : 3 / 9 : 8 = 32 : 27 / 9 : 8 = 256 : 243)。因此，菲洛劳斯的音阶由以下音程组成：9 : 8、9 : 8、256 : 243 [这三个音程构成一个四度音程]、9 : 8、9 : 8、9 : 8、256 : 243 [这四个音程构成一个五度音程，并完成了从起始音符开始的八度音程]。这种音阶被称为毕达哥拉斯全音阶，是柏拉图在《蒂迈欧篇》中构建世界灵魂时采用的音阶 (36a-b)。

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