SEP：阿尔希塔斯（三） (6-4)

阿尔希塔斯将和声理论提升到了一个全新的理论和数学复杂程度。托勒密在公元 2 世纪写道，阿尔希塔斯是“所有毕达哥拉斯学派人物中最致力于音乐研究的人”（A16）。首先，阿尔希塔斯对音调提供了一种一般性的解释，他认为，声音的音调取决于声音传播和传播的速度（B1）。因此，如果一根棍子快速地来回挥动，它就会产生一种在空气中快速传播的声音，这种声音的音调，会被认为比一根棍子缓慢挥动时产生的声音的音调要高。阿尔希塔斯将音调与速度联系起来是正确的，但他误解了速度的作用。音调不取决于声音到达我们耳朵的速度，而是取决于在给定时间段内撞击的频率。一根振动得越快的弦，产生的声音的音调就越高，但如果介质相同，那么所有声音，无论音调如何，传播的速度都是一样的。尽管阿尔希塔斯对音调的描述最终是不正确的，但它却很有影响力。它被柏拉图和亚里士多德继承并加以改造，并一直是古代的主流理论（Barker 1989，41 注 47；Barker 2014：187）。其次，阿尔希塔斯将新的数学严谨性引入了毕达哥拉斯的和声学。用整数比来分析音乐的一个重要结果是，认识到不可能将基本的音乐音程分成两半。八度音程不是被分成两个相等的两半，而是被分成一个四度音程和一个五度音程，四度音程不是被分成两个相等的两半，而是被分成两个全音和一个余数。全音不能被分成两个相等的半音。另一方面，将一个双八度音程分成两半是可能的。从数学上讲，我们可以通过认识到，可以在对应于双八度音程 (4 : 1) 的比率的各项之间插入一个比例中项，从而看出这一点，使得 4 : 2 :: 2 : 1。因此，双八度音程可以被分成两个相等的部分，每个部分的比率都是 2 : 1。支配基本音乐音程 (2 : 1、4 : 3、3 : 2、9 : 8) 的比率，都属于一种被称为超特殊比率的比率类型——粗略地说，就是 (n + 1) : n 形式的比率。阿尔希塔斯做出了一个至关重要的贡献，他提供了一个严格的证明，证明了超特殊比率的数之间不存在比例中项（A19），因此基本音乐音程不能被分成两半。阿尔希塔斯的证明后来被托名欧几里得的《音律论》所继承，并略作修改（命题 3；见 Barker 1989，195）。关于阿尔希塔斯的证明，见 Huffman 2005：451-70 和 Barker 2007：303-5。

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