线性代数群-序言 (4-3)

满态射下结构值得强调， 21.3推论C 证明了，代数群间的满态射将 Borel 子群、抛物子群、极大环面(torus)、极大连通幂幺子群映射成为对应的结构。22节中密度定理得到的主要结果是定理22.2，说明 Borel子群B 的共轭可以“铺满”整个群 G. 其后的Centralizer 和 Normalizer 刻画了 Borel，torus，Cartan子群之间的一些性质。

在教材的 23.4 小节处有本章的总结，可以直接阅读了解。

Chapter9. Centralizers of Tori

本章主要的目的是“局部化”，但其部分内容和证明有些粗略导致难以严谨学习。“局部化”的意思指的是将根系root system 中的某个根α 具体取出, 我们是否可以得到一个子群 Uα 使得其在某种意义上恰好对应根 α ？这样的子群是一维的，所以我们要特殊地找到某些一维子群，也是教材中 1-psg 的意义。

在前面章节中我们可以知道Nɢ(T)◦＝ Cɢ(T)，即 T 的正规化子的单位连通分支群等于其中心化子（自动连通，前文有证明），此时我们便可定义有限群（Weyl 群）为 W＝Nɢ(T)/Cɢ(T) . 对应的根系的欧氏空间为 V＝ℝ ⨂ Ⅹ(T) ，对偶空间为 V'＝ℝ ⨂ Y(T) ，Weyl群在根系上的作用可以定义，进而导出一系列与李代数根系相似的结果。教材在此部分非常简略，我们列出部分正确的结果，有机会补全证明。

(A) 一个Borel子群 B 对应了一个simple roots 集 Δ ，从而决定Weyl Chamber， V 和 V' 中分别都有.

(B) 给定一个 λ ∈ Y(T)ᵣₑg 我们可以找到其对应的 B(λ) ，且 〈α，λ〉＞0∀α ∈ Δ .

(C) 其它一些与李代数中根系相似的结论.

重要定理： Rᵤ(G)＝l(T)ᵤ ，其中 Rᵤ(G) 为 G 的unipotent radical， l(T)＝(∩B)◦ .

B⊇T

注意：在一般情况下，代数群的 roots 之间可能并非约化的，即 Φ∩ℝα 含有除了 ±α 的其它根，此种情况在约化群中不会出现。

Chapter10 & 11. Structure of Reductive Group & Representation and Classification of Semisimple Groups

首先可以证明我们的root system确实是一个抽象根系，进而有：

Theorem. (Bruhat Decomposition) G＝∪BσB (不交并)，BσB＝BτB 当且仅当 σ＝τ ∈ W .

σ∈W

Bruhat 分解的过程可以公理化抽象为 Tits System，详情可见29节. 29节另外也给出了所有抛物子群的结构，并证明了 Weyl group 实际上是一个 Coxeter group.

Theorem. (Levi Decomposition) 任何的抛物子群都可以分解为 P＝LV(V＝Rᵤ(P)) , 并且所有的 Levi 因子 L 都是在 V 中的元素下共轭的. ( L 中的根成对出现， V 中只能取 ±1 倍数之一).

在31节中我们可以证明，半单代数群G 的不可约表示一一对应与最高权 λ . 同构唯一与存在性都可证明.

关于半单代数群的分类，本章分为同构定理与结构定理。进而我们已经有根系上的所有分类结果，从而考虑代数群的分类结果。

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