线性代数群-序言 (4-2)

本章主要处理齐次空间。假设H＜G为子群，我们在抽象群论中可以知道有陪集$G/H$，但在一般的代数群中我们如何处理 G/H 的结构？（想想范畴论会怎么做！泛性质！） 本章证明了 G/H 可以给予一个拟射影代数簇的结构，而当 H 是一个正规子群时，其恰为一个射影代数簇。

教材中根据泛性质定义了所需一个代数簇的结构G/H ，而12节具体构造了所需要空间，并逐一给出了其所需要的性质，如拓扑、层结构等。

Chapter5. Characteristic 0 Theory

特征0时，代数群具有相当清晰的结构，第13节给出了代数群和其李代数的1-1对应关系，正规子群和李代数理想的1-1对应，中心与中心化子的关系，半单代数群和半单李代数的关系。 特征0时的半单代数群我们还有一些表示论上的结果（14节）。

Chapter6. Semisimple and Unipotent Elements

在李代数中，我们有 线性算子的 Jordan-Chevalley 分解，x＝xₛ＋xₙ 其中 xₛ 为半单元， xₙ 为幂零元，两者可交换。相似地，在代数群里面我们也有分解 x＝xₛxᵤ 其中 xₛ 为半单元， xₙ 为幂幺元。如果是 GL(n，K) 中我们有 x＝xₛ＋xₙ＝xₛ(1＋xₛ⁻¹xₙ) 因此我们可以将 xᵤ 视为特征值全为1的元素。

16节中引入了 Tori 的概念，相对应的我们首先有d-群 和可对角化群的概念，这两个概念在某些意义上是相近的。一个连通的 d-群成为了一个 torus. 一个 torus 同构于 Gₘ × · · · × Gₘ . (非按照定义的逻辑)

由此我们可以得到 weights 和 roots 的概念，G 作用在 V 上时，其 torus (可对角化群即可) T 的作用可以化为一系列特征向量和特征值. Vα＝{υ ∈ V│x，υ＝α(x)υ ∀x ∈ T} 非空的所有 α 称为weights，而在 𝖄 上的Ad作用所有非零的 weights 称为 roots.

Chapter7. Solvable Groups

本章处理了可解群、幂零群、幂幺群的性质。使用 Lie-Kolchin 定理将可解群化为上三角矩阵群。第18节中有部分非常技术性的双射结构，在后续证明中有重要作用。

本章的目的之一是处理连通可解代数群的结构，得到 Theorem 19.3 的半直积的形式。此外还有许多重要的副产物的性质，此处不一一列举。19.5中定义并初步处理了Radical.

第20节中证明了所有的一维连通代数群在同构意义下仅有Gₘ 与 Gα ，其分别对应了 semisimple的情况与 unipotent 的情况。

Chapter8. Borel Subgroups

Borel 子群的性质丰富繁杂，我们仅介绍其中部分。在本章中核心的启动定理是 21节的不动点定理，它道出了许多其后的结论。Borel 子群B 的定义是“闭的连通的可解的真子群，使得其在包含偏序中极大”。我们可以证明此时 G/B 是一个射影代数簇，所有的 Borel子群都是互相共轭的。抛物子群 P 是使得 G/P 为射影代数簇的所有闭子群，则我们可以证明 P 为抛物子群当且仅当 P 包含了某一个 Borel 子群。

包含极大环面T 的所有Borel子群 B' 可以刻画为 T 作用在 G/B 上的所有不动点。

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