Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC (3-3)

那么此时，因为C 是 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的子集，而后者又被拆分为 S(α)，α＜κ ，所以肯定存在某一个 Sα₀ 与 j(S)(κ) 相交。

由于j(S)(κ)∩S(α₀)包含的都是共尾性为 ω 的序数, 所以 (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C 不为空.

令ζ₀ ∈ (j(S)(κ)∩S(α₀))∩C . 因为这个 ζ₀ ∈ C，所以 j(ζ₀)＝ζ₀，同时，因为 ζ₀ ∈ S(α₀)，根据j的elementarity, 我们有 j(ζ₀)＝ζ₀ ∈ j(S(α₀))＝j(S)(α₀) . 可是现在问题来了: 我们前面说到过, 函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)使得 (j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition. 所以 range(j(S)) 应该是两两不相交的. 但是我们刚得到了 ζ₀ ∈ j(S)(κ)∩j(S)(α₀) 矛盾. 所以在选择公理成立的情况下, Reinhardt cardinal不存在. ⊣

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