Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC (3-2)

proof: 假设Reinhardt cardinal存在, 令κ 为最小的Reinhardt cardinal, 并且假设这个j是first-order definable的, 那么 j(κ) 也是first-order definable的. 此时因为 κ∈V 根据elementary embedding的定义我们有：V├ κ is the least Reinhardt cardinal ⇔ V├ j(κ) is the least Reinhardt cardinal. 但是根据定义, j(κ)＞κ，得到矛盾. ⊣

所以为了能表述"nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在. "这个命题, 我们转移阵地到能表达二阶概念的集合论, GBC (Godel-Bernays set theory with Choice). 同时, 我们留意到"j is elementary"有一个等价的一阶formulation, 这个结果由Gaifman证明：

Fact(Gaifman)：如果j：N → M 是一个 Σ₁-elementary embedding(意思是j只保证两个模型间的 Σ₁ 语句真值相同. Σ₁ 语句的真值是一阶可定义的), N与M都满足ZF, 那么j就是一个elementary embedding.

所以我们所需要证明的命题如下: (GBC) "不存在一个Σ₁-elementary embedding j：V → V ." 等价地, 我们证明, "如果 j：V → M 是 Σ₁-elementary embedding, 那么 M ≠ V "

证明：

令κ＝crit(j) , 我们考虑如下序列：(κ，j(κ)，j(j(κ))，. . .jⁿ(κ)，jⁿ⁺¹(κ). . .) . 令 λ＝supₙ＜ωjⁿ(κ) . λ⁺ 是一个后继基数, 所以在选择公理下 λ⁺ 是一个不可数的正则基数. 所以根据Solovay splitting, 我们可以找到函数 S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 W＝{ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω}的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集. 我们留意到 j(λ)＝λ : 因为j(λ)＝j(supₙ＜ωjⁿ(κ))＝supₙ＜ω(j(jⁿ(κ)))＝λ . 此时注意：λ⁺ ≤ j(λ⁺)＝(λ⁺)ᴹ ≤ λ⁺ (中间的等号是因为j是elementary embedding). 所以 j(λ⁺)＝λ⁺ .

我们将用反证法证明命题. 我们现在假设M＝V , 并最终导出矛盾.

因为"存在函数S：κ → P(λ⁺)，使得 range(S) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集"是一个一阶语句, 所以j将会保留这个语句的真值, 即: "存在函数 j(S)：j(κ) → P(j(λ⁺))＝P(λ⁺)，使得 range(j(S)) 是对 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的一个partition, 其中每一个集合都是 λ⁺ 中的驻集". 特别地, 因为 κ∈j(κ)，所以 j(S)(κ) 也是 λ⁺ 中的一个驻集.

定义C＝{ζ＜λ⁺│j(ζ)＝ζ∧cf(ζ)＝ω} . C是 λ⁺ 的一个unbounded，ω-closed的子集(练习). 我们有如下事实：

j(S)(κ)∩C ≠ ∅，这是因为C是一个club和 {ζ＜λ⁺│cf(ζ)＝ω} 的交集，而其中 j(S)(κ) 又是后者的驻子集.

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