集合论的力迫应用性质 (2-1)

本文使用 Zhihu On VSCode 创作并发布

本文介绍"locally verifiable"这一概念的严格化, 并且展示这个概念的一个应用: 如何力迫使得一个Σ₁-reflecting的基数在扩张中仅仅是Σ₁-reflecting而不是Σ₂-reflecting. "Locally verifiable"的等价性质的观察来自于Joel Hamkins, 这个力迫方法的应用来自于他的学生Erin Carmody.

集合论工作者经常会口头上讨论某个性质是local或者global的. 例如GCH是一个global property, 但是GCH的反例是local的. 这个性质有没有一个严格的定义? 我们可以参考computability theory里面的recursively enumerable这个想法：

一个自然数集S是recursively enumerable的, 当且仅当存在一个程序P, 使得: 如果x∈S 则P(x)会停机 (如果x∉S 则不一定会停机). 我们可以把一个自然数集当作一个关于自然数性质, 那么recursively enumerable的性质就是我们能有办法一个一个自然数地查, 如果一个自然数符合这个性质, 那么我们的办法就会告诉我们. 我们可以把recurisively enumerable的性质当作自然数的local性质.

我们有如下事实：

一个自然数的性质是recursively enumerable的, 当且仅当它是Σ₁的

如果考虑集合论宇宙, 我们可以问: 有没有什么办法可以类比自然数中"一个一个地查"这个说法? 自然地, 我们可以考虑集合论宇宙的分层(hierarchy). 我们知道，V可以分层为(Vα│α ∈ Ord)， 和(Hκ│κ ∈ Cαrd)，其中 Hκ 是所有transitive closure大小严格小于κ的那些集合的集合.

我们可以利用这两个hierarchy, 来严格化我们"一个一个查"的概念: 对于某个性质, 我们可以试着在Vκ或者Hκ中验证它. 如果我们把"在Vκ或Hκ中可验证"作为local property的严格化, 那么我们有着如下有趣的事实: 对于任意公式φ 如下三者等价

1. φ 是Σ₂的

2. φ等价于形如"(∃θ)(Vθ╞ ψ)"这样一个语句, 其中ψ可以是任何复杂度

3. φ 等价于形如"(∃κ)(Hκ╞ ψ)"这样一个语句，其中ψ可以是任何复杂度

我们的直觉在这里得到了一定程度的肯定: 集合论中的local properties就是那些Σ₂的性质, 这是一个对recursively enumerable sets的自然推广.

证明：

(1-＞3) 我们要用到教科书上一个常见的引理(Levy)：对于任意不可数基数，我们都有 Hκ ≺₁ V， 即对于任意参数来自Hκ的Σ₁语句χ，χ 在Hκ中成立当且仅当在V中成立. 这个引理nontrivial的方向是"V中成立-＞Hκ中成立"这一步. 证明方法是一个典型的Lowenheim-Skolem论证：χ中所有参数和随便选的一个见证y都会在足够大的Hᵧ里，通过Lowenheim-Skolem定理取Hᵧ的初等子模型X, 并且要求χ中所有参数的的transitive closure是X的子集，再要求y ∈ Ⅹ以及|X|＜κ. 对这个子模型进行transitive collapse, 得到π：X ≅ M，其中M是传递集合. 那么此时M ⊆ Hκ，并且π(y)在M中见证χ. 所以π(y)在Hκ中也见证χ.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。