Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC (3-1)

Woodin对Reinhardt Cardinals与ZFC不相容的证明

Stationary Splitting(special case)：令λ 为不可数的正则基数(regular cardinal), 则对于任意的正则基数 κ ≤ λ 都存在一个函数 S：κ → P(λ) 使得 range(S) 是一个对 {ζ＜λ│cf(ζ)＝ω} 的partition, 特别的, range(S) 中每一个元素都是驻集. cf(x)指的是x的共尾性(cofinality).

Elementary embedding: 令N, M为某语言L的模型, 我们说j：N → M 是一个(nontrivial) elementary embedding, 当且仅当, 对于任意的L-formula φ(υ₁，. . .，υₙ) 和 α₁，. . .，αₙ ∈ N，N╞ φ[α₁，. . .，αₙ] ⇔ M╞ φ[j(α₁)，. . .，j(αₙ)].

例：假设measurable cardinal存在, 那么存在一个nontrivial elementary embedding j：V → M . 假设存在一个nontrivial elementary embedding j：V → M , 那么第一个被j移动的的序数(写作crit(j), the critical point of j)是一个measurable cardinal.

我们可以要求模型M越来越像V, (比如在可测基数的情况里，Vκ₊₂ ⊈ M， 所以M就没有特别像V), 来得到各种各样的 j：V → M，其中crit(j)就是可测基数之上的各种基数 (例如要求 Vᵧ ⊆ M , crit(j)就是 γ-strong cardinal).

自然的, 我们可以考虑"终极"的"像V性质", 即M=V. 这个可能性由Reinhardt提出, 若(nontrivial) elementary embedding j：V → V 存在, 那么crit(j)就叫做Reinhardt cardinal. 在这个可能性提出后不久, Kunen就证明了著名的Kunen Inconsistency: 假设选择公理, 那么如果 j：V → M 是一个nontrivial elementary embedding, 那么 V ≠ M. 目前我们尚不知道这个定理在没有选择公理的情况下成不成立. Reinhardt cardinals在ZF下的存在性问题是当下集合论和数学哲学中的一个至关重要的open problem.

本文我们将证明如下(用自然语言写下的)命题: "nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在. "

在证明这个命题前, 我们先考虑我们需要证明的是什么. 由于j的定义域是全部V, 所以j必然地会是一个proper class, 所以关于j的命题都无法从字面意思上在ZFC里表达出来. 在其他大基数的情况下, "存在elementary embedding j：V → M "这个二阶claim都有等价的一阶formulation, 比如可测基数的情况下, 这个claim等价于"存在一个基数 κ , 使得 κ 上存在一个nonprincipal κ-complete ultrafilter". 我们下面证明"nontrivial elementary embedding j：V → V 不存在"这个claim不存在等价的一阶formulation.

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。