新的大基数公理和终极L（二） (4-1)

5.无选择基数的一致性

假设依赖选择(但显然不是完全选择)公理，很可能可以证明一个非平凡初等嵌入j:Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂的临界点是超巨大的。然而，在下文中，我们将只需要使用一个较弱的陈述，它可以被证明没有任何形式的选择。

定义5.1 .假设α是一个极限序数，使得α＞0，并且具有基本嵌入族f的that〈κᵦ:β＜α〉together证明κ是α-极大的，对于每个小于α的有限序数序列，族f中只有一个嵌入证明α-极大。假设，给定ordinals〈βᵢ:i＜ω〉less的任意ω-序列比α。有一个初等嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁与临界序列〈κᵦᵢ:i＜ω〉,obtained胶合在一起明显的ω-序列的嵌入f，其中λ:=supₙ∈ω κᵦₙ。那么基数κ据说是α-巨大的。

定义5.2 .假设基数κ是κ-巨大的*。那么κ据说是超级巨大的。

在这一节中，我们希望证明下面的定理。

定理5.3 .ω与ZF thαt不相容存在αn阶αlλα和α非三παl元α嵌入j:Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂.

证明。同样的推理表明每一个I2基数κ都有一个集中在超大基数上的正规超滤子U，在ZF也表明如果κ是一个初等嵌入的临界点

Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂,then:有一个正规的超滤子u集中在一个序列〈κα:α＜κ〉上，它证明κ是超巨大的。在[6]中，Gabriel Goldberg还使用迭代崩溃强制证明，如果这种嵌入的存在与ZF一致，那么它也与Vλ是良序的一致(使用良序，其中如果m＜n并且〈κ'ᵢ:i∈ω〉是j的临界序列，则映射jⁿ⁻ᵐ将良序对Vκ'ₘ₊₁ \ Vκ'ₘ的限制映射到良序对Vκ'ₙ₊₁ \ Vκ'ₙ).的限制

所以假设这两个假设的结合，在ZF，设κ是嵌入的临界点，设S是前面提到的序列〈κα:α＜κ〉。对于每个α＜κ，设Eα是[ξα]ω上的等价关系，它包含两个小于ξα的序数集合，它们的元素按序构成两个可数无穷长的序列，当且仅当这两个序列有相同的尾。有一个序列〈Cα:α＜κ〉使得对于每一个α＜κ，Cα是Eα的等价类的选择集，并且对于每一对(α，β)具有α＜β，当一个人从一个固定的嵌入族中选择一个初等嵌入j’来证明κ的极大性时，他可以不失一般性地选择它使得j'(Cα)=Cᵦ.然后使用嵌入j，人们可以把它扩展到一族选择集〈Cα:α＜λ〉,这样，如果α＜β＜κ'ₙ，那么可以选择一个初等嵌入j ′,它是固定嵌入族的一部分，见证了j'(Cα)=Cᵦ.的κ'ₙ,such的超巨大性

这允许人们为[λ]ω上的对应等价关系E构造选择集C。方法如下。给定X ∈ [λ]ω，从我们陈述的假设可以得出，对于任何给定的n＞0，可以找到X' ∈ Vκ'ₙ，使得X' ∈ [ρ]ω对于κ'ₙ₋₁和κ'ₙ之间的余音ω的ρ和嵌入的ex。ₙ:Vᵨ₊₁ ≺ Vλ₊₁携带了一系列超级巨大的* ρ中的基数与j的临界序列或其尾部共尾，使得ex,ₙ(X')=X.这可以与选择集的序列〈Cα:α＜λ〉一起使用，以根据n来选择x的等价类的一个成员。使用前面提到的不同选择集cα之间的关系，可以认为可以以这样的方式选择该数据，使得映射n到x的等价类的所选成员的函数实际上最终是常数，并且等价关系e的选择集可以以这种方式构造

然而，这引起了使用库宁不一致定理的证明方法的矛盾。这一矛盾就这样产生了

从一组假设出发，这些假设通过仅强制相对于ZF加上初等嵌入Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂.的存在而被证明是一致的因此，初等嵌入Vλ₊₂ ≺ Vλ₊₂的存在实际上与ZF不一致。▢

6.终极L猜想的一个证明

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。