新的大基数公理和终极L（一） (4-3)

证明。设κ是I2基数，设临界点为κ的初等嵌入j:V ≺ M证明κ是I2基数，临界序列的上确界为δ。

如果我们设u是由j产生的κ上的ul-trafilter，我们可以很容易地证明，κ'＜κ的集合使得存在一个基本嵌入kκ':Vδ ≺ Vδ，其临界序列由κ'后跟j的临界序列组成，是u的一个成员(以下用x表示)。

那么属于这个集合的序数序列，连同可以从嵌入序列中导出的一族嵌入〈kκ’:κ’∈X〉证明κ是超巨大的。

因为它也遵循了M的超巨大性，所以期望的结果随之而来。▢

这就完全证明了α-巨基数和超巨基数在I3和I2之间具有严格的一致强度。

下一节我们将讨论α-巨大和超巨大基数的一致性强度。

3.α-巨大和的一致性强度

超级巨大的基数

我们希望证明α-巨大基数和超巨大基数具有比任何以前认为的不与ZFC不一致的大基数公理更大的一致性强度。

我们将从定义[2]中讨论的一些大基数公理开始。

定义3.1。如果下列条件成立，我们说序数A满足拉沃尔的公理。

有一个集合n使得Vλ₊₁ ⊆ N ⊊ Vλ₊₂和一个初等嵌入j:L (N) ≺ L(N)，使得

(1) N=L(N) ∩Vλ₊₂和crit(j)＜λ；

(2) Nλ ⊆ L(N)；

(3)对于所有F:Vλ₊₁ → N {∅}使得F ∈ L(N)存在G:Vλ₊₁ → Vλ₊₁使得G ∈ N并且使得对于所有A ∈ Vλ₊₁,G(A) ∈ F(A)。

我们将在第六节的结尾陈述一个与拉沃尔公理有关的主张，但在本节中将不再进一步提及它。

定义3.2 .我们将sequence〈e⁰α(vλ₊₁):α＜υvλ₊₁〉to定义为最大序列，使得以下成立。

(1)E⁰₀(V₊₁)=L(V₊₁)∩Vλ₊₂和E⁰₁(Vλ₊₁)=L((Vλ₊₁)#)∩Vλ₊₂.

(2)假设α＜υvλ₊₁和α是一个极限序数。然后是e⁰α(vλ₊₁)=l(u {e⁰ᵦ(vλ₊₁):β＜α})∩vλ₊₂.

(3)假设α+1＜υvλ₊₁.那么对于某些x∈e⁰α₊₁(vλ₊₁),e⁰α(vλ₊₁)＜x,where，我们的意思是有一个满射π:Vλ₊₁ → E⁰α(Vλ₊₁)和π∈l(x,vλ₊₁),and b⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(x,vλ₊₁)∩vλ₊₂,and如果α+2＜υvλ₊₁那么E⁰α₊₂(Vλ₊₁)=L((X,Vλ₊₁)#)∩Vλ₊₂.

(4)假设α＜υλ₊₁.那么存在x个⊆ Vλ₊₁使得E⁰α(Vλ₊₁) ⊆ L(X,Vλ₊₁)并且使得存在一个适当的初等em-铺垫j:L(X,Vλ₊₁) ≺ L(X,Vλ₊₁),where这意味着j在临界点低于λ的情况下是非平凡的，并且对于所有的X' ∈ L (X,Vλ₊₁)∩Vλ₊₂)存在一个Y ∈ L(X,Vλ₊₁)∩Vλ₊₂使得〈Xᵢ:i＜ω〉∈L(Y,Vλ₊₁),where X₀=X'和x \\ = j(x \u\u)对于所有的i ≥ 0。

(5)假设α＜υvλ₊₁,α是一个极限序数，并设N=E⁰α(Vλ₊₁).那么要么

(a) (cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＜λ，or

(b)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＞λ和一些Z ∈ N,L(N)=(HODVλ₊₁∪{Z})ᴸ⁽ᴺ⁾.

这里 ᴺ=sup{ ᴸ⁽ˣ,ⱽλ⁺ ⁾:X ∈ N},其中 ᴸ⁽ˣ,ⱽλ⁺ ⁾是序数γ的上确界，γ可以作为Vλ₊₁域上的满射的余域，其中满射是L(X,Vλ₊₁).的一个元素

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