新的大基数公理和终极L（一） (4-2)

进一步假设有一个初等嵌入k:V ≺ M，固定所有大于λ的正则基数，Vλ ⊆ M和(Vλ₊₁)ᴹ ≺ Vλ₊₁,and k│Vλ=j│Vλ。

如果β:=supₙ∈ω βₙ＜α让ρ:=κᵦ,otherwise让ρ:=κ。

假设。

每当我们有Vλ₊₁ ⊆的⊆ Vᵨ和S ∈ L(Vλ₊₁) [X]其中x:=(eᵢ“δᵢ:i＜n”对于某个有限序数n，其中每个eᵢ是临界点大于λ的初等嵌入与δᵢeᵢ和δᵢ的临界序列的上确界是成对不同的，并且k(S) ⊆ S，那么我们有k(s)≦s，如果所有这些条件都满足，那么基数κ被称为α-巨大的。

定义1.4。一个基数κ是κ-巨大的，称为超巨大的。

我们将很快证明α-巨大基数和超巨大基数相对于I2是一致的。

我们还将证明，α-巨大基数和超巨大基数比I0，或任何其他以前认为不与ZFC不一致的大基数公理具有更大的一致性强度。

最后一节将简要讨论这些定义的原始公式的灵感来源，它可以作为假设这些大基数与ZFC一致的一些动机，在续集中证明的结果可以为假设一致性提供一些额外的动机。

让我们首先证明极限序数α＞0的α-巨大基数和超巨大基数具有严格在I3和I2之间的一致性强度。

2.巨大的基数和超巨大的基数的一致力量

定义2.1。基数κ称为l3基数，如果它是初等嵌入j:Vδ ≺ Vδ的临界点。

I3是l3基数存在的断言，l3(κ，δ)是第一个陈述对于特定的一对序数κ，δ成立使得κ＜δ的断言。

定义2.2。一个基数κ是一个I2基数，如果它是一个初等嵌入的临界点j:V ≺ M使得Vδ ⊂ M其中δ是大于κ的最小序数使得j(δ)=δ。

l2是I2基数存在的断言，I2(κ，δ)是第一个语句对于特定的一对序数κ，δ成立的断言，使得κ＜δ.

在这一节中，我们希望证明α-巨大基数和超巨大基数在I3和I2之间具有严格的一致性强度。

定理2.3。假设κ是ω-巨大的αsω由〈κᵢ: I ＜ω\u\u所满足。

那么在κ₀上有α范数αl ultrα滤子u，这样αt在αll κ'＜κ₀的集合上，这样|3(κ’，δ)对于u的某个δ＜κ₀,is α成员

证明。假设κ是ω-巨大的，并且〈κᵢ:i∈ω〉与一族基本嵌入f一起见证了κ的ω-巨大。不失一般性地可以假设，f中具有临界点κ₀的所有嵌入产生相同的

κ₀.上的普通超滤器在下文中用U表示。

我们可以用反射来证明属于u的任何固定成员的κ'₀＜κ₀的存在，例如〈κ'₀,κ₀,κ₁……〉，与初等嵌入的某族F₀一起，见证κ的ω-延展性。

然后我们可以重复这个过程，找到一个属于u的同一个固定成员的κ'₁，比如κ'₀＜κ'₁＜κ₀,such和〈κ'₀,κ'₁,κ₀,κ₁,.……〉，与元素嵌入的某个家族F₁一起，见证ω-κ的廷展性。

我们可以这样继续下去，我们也可以这样排列，使得对于所有n＞1，有一个临界点为κ'₀的embeddings,jₙ: Vκ'ₙ₋₁ ≺ Vκ'ₙ序列，这可以通过诱导来选择，使得对于每个n＞1,jₙ，对于所有m，与jₘ相合，使得1＜m＜n，并且来自Fₙ的嵌入具有从〈κ'₀,κ'₁,.开始的临界序列选择,κ'ₙ₋₂〉can是为了与jₙ.保持一致这样，我们得到了一个序列〈κ'ₙ:n＜ω〉and，一个具有上述性质的嵌入jₙ序列。

对于U的任何给定元素，这样一对序列的存在产生了所要求的结果。▢

定理2.4 .设thαt κ是αn l2 cαrdinαl，则在κ上有αnor-mαl ultrα滤子U集中在超大cαrdinαls上。

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