新的大基数公理和终极L（一） (4-4)

(6)假设α+1＜TVλ₊₁,α是一个极限序数，并设N=E⁰α(Vλ₊₁).那么要么

新的大基数公理和终极L程序7

(a)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＜λ,and e⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(nλ,n)∩vλ₊₂,or

(b)(cof( ᴺ))ᴸ⁽ᴺ⁾＞λ,and e⁰α₊₁(vλ₊₁)=l(ε(n),n)∩vλ₊₂,whereε(n)是初等嵌入的集合k:N ≺ N

定义n:=l(∪{e⁰α(vλ₊₁)│α＜υvλ₊₁})∩vλ₊₂.

假如cof( ᴺ)＞λ和l(n)≦(hodvλ₊₁∪{z})ᴸ⁽ᴺ⁾对所有Z ∈ N，并进一步有一个初等嵌入j:L(N) ≺ L(N)与crit(j)＜λ。

那么我们说λ满足伍丁公理。

定理3.3 .假设thαt κ是ω-se-guence〈κₙ:n＜ω〉.

所需的巨大的αsω那么，Vκ₀是α区间的α模型，存在λsα满足伍丁的αxiom的α真clαss

证明。假设定理陈述中给出的假设和符号。如果我们让λ:=sup{κₙ:n＜ω},then，有一个基本嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁与关键的sequence〈κₙ:n＜ω〉.

在假设V=HOD的情况下，通过在Vκ中扩展j的嵌入，证明λ满足Woodin公理是充分的，也可以证明λ满足Laver公理。

假设sets〈E⁰α(Vλ₊₁):α＜β〉序列满足伍丁公理定义的要求(1)-(6)，相对于Vκ，对于某些β≤υvλ₊₁,and定义n是E⁰ᵦ唯一可能的候选，如果它存在的话。

通过超限归纳法可以证明，L(j(N)∪Vλ₊₁)∩Vκ=L(N)∩Vκ.

然后，考虑到j对这样一个n的元素的作用是由j│Vλ决定的，利用ω-巨大性的假设，通过超限诱导可以证明j对L(N)∩Vκ的限制是一个初等嵌入L(N)∩Vκ ≺ L(N)∩Vκ，在β＜υvλ₊₁.

由于对于满足所有前述要求的每个n都是如此，我们现在可以通过超限归纳法得出结论，λ通过将j的限制扩展到Vλ₊₁.的嵌入，在Vκ中满足伍丁公理这就完成了论证。▢

这完成了一个证明，即α-巨大和超巨大基数比任何以前认为的不相容的ZFC扩张具有更大的一致性强度。

4.几乎是α-巨大和超巨大的红雀

Ralf Schindler和Victoria Gitman在[4]中引入了虚拟大基数性质的概念。给定参照集合大小的基本嵌入j:Vα ≺ Vᵦ或这种嵌入族定义的任何大基数性质，相应的虚大基数

除了用初等方法外，性质的定义也是一样的。(Vᵦ)ⱽ，其中j ∈ V [G]是v的一个集合的一般扩张。几乎α-巨大的或超巨大的基数的概念是清楚的。在这一节中，我们给出了一个关于超巨基数的结果，在第六节中，我们将给出一个关于ω巨基数的结果。

定理4.1。如果κ是αmeαsurαcαrdinαl，αnd V=HOD，则κω中存在α序列余αl，它满足κ的surα超正则性。

证明。假设临界点为κ的j:V ≺ M见证了κ的可测性。然后是初等嵌入j':Vκ₊₁ ≺ (M∩Vⱼ₍κ₎₊₁)which出现在m的一般扩展中(这里使用假设V=HOD)。迭代反射产生期望的结果。▢

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