新的大基数公理和终极L（二） (4-2)

在这一节中，我们将寻求给出休·伍丁的终极L猜想的一个证明。Hugh Woodin的Ultimate-L程序的最重要来源是[1]、[2]和[3]。我们必须从给出公理V=Ultimate-L的陈述开始，遵循[3]的定义7.14。

定义6.1。公理V =极限L被定义为这样的断言

(1)在枢机主教中有一个适当的等级。

(2)给定在v中为真的任何σ₂-sentenceф，存在一个实数a的univer-sally Baire集合，这样，如果 ᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾被定义为最小序数的 ，使得在L(A,ℝ),then不存在从ℝ到 的满射，则句子ф在HODᴸ⁽ᴬ,ℝ⁾∩V ᴸ₍ᴀ,R₎.为真

现在让我们回忆一下[3]中的一组定义。

定义6.2。设N是ZFC的传递真类模型，δ是v中的超紧基数。我们说N是δ超紧的弱扩张模型，如果对于所有γ＞δ，在Pδ(γ)上存在正规的精细δ-完备测度μ，其中μ(N∩pδ(λ))= 1且μ∩N ∈ N

定义6.3。一个序列N:= 〈Nα:α ∈阶〉是弱σ₂-definable的，如果有一个公式ф(x)使得

①对所有β＜η₁＜η₂＜η₃人来说，如果(Nф)ⱽη₁│β=(Nф)ⱽη₃│β那么(nф)ⱽη₁│β=(nф)ⱽη₂│β=(nф)ⱽη₃│β；

(2)对于足够大的η，对于所有的β ∈ Ord,N│β=(Nф)ⱽη│β，其中，对于所有的γ，(Nф)ⱽγ={α ∈ Vᵧ:Vᵧ╞ф[α]}.假设⊂ V是一个内部模型，这样N╞ ZFC。那么n是弱σ₂-definable，如果序列〈n∩vα:α∈ord〉是弱σ₂-deinable.

我们现在可以陈述我们打算在这一节中证明的结果。

定理6.4 .假设当eαch极限或αl α＞0时，存在α-巨cαrdinαls的α真clαss。那么终极αte-L猜想的下列版本，即[3]中给出的αs猜想7.41成立。

设thαt δ是αn可扩的cαrdinαl(在fαct中一个cαn e假设只有thαt δ是α超αct cαrdinαl)。然后是α ωeαk扩张模型N，用于δ的超α紧性，如thαt

(1) N is ωeαkly Σ₂-definαble αnd N ⊂ HOD；

(2) N="V=Ultimαte-L "。

③N╞ GCH。

定理6.4的证明。让我们给出期待已久的极限-L的定义。我们声称下面是极限-L的正确定义，假设V中有足够多的大基数，如定理6.4的假设中所示。当我们作出较弱的大基数假设时，描述它的正确方法仍有待发现。

假设κ是ω-巨大的，正如序列〈κₙ:n＜ω〉,where清楚地证明的那样，我们可以不失一般性地假定后一个序列在HOD中，我们将这样做。然后我们可以考虑所有形式为j"λ的正规集，其中λ:=sup{κₙ:n ∈ ω}对于某些序列〈κₙ:n ∈ ω〉具有前面描述的性质，j是具有临界sequence 〈κₙ:n ∈ ω〉的初等嵌入Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁。其中一些普通成员将成为团长的成员。我们将极限L定义为L的最小扩张，它包含HOD中这样的一组序数中的一个适当类长序列的每个成员，以这种方式从ω-巨大基数κ中获得，对于λ的每个可能值，在序列中正好有一个这样的序数j”λ。从本节的结果以及关于极限L构型的已知结果可以得出，如此定义的极限L实际上不依赖于序列的选择。在这个模型中，对于部分见证v中某个基数的α-巨大性的嵌入所产生的HOD中的每个可能的临界序列，确实存在至少一个临界序列为〈κₙ:n ∈ ω的初等嵌入j:Vλ₊₁ ≺ Vλ₊₁

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