德勒兹2（一） (6-3)

与逻辑学家对希尔伯特著作的解释相反，洛特芒认为，“希尔伯特替代了定义起源性的方法，即公理定义的方法，而且远远不想从逻辑开始重建整个数学，相反，当从逻辑传递到算术，从算术传递到分析时，新的变量和新的公理每次都扩大了结果的范围”。洛特芒在他的著作里动员的希尔伯特公理化是一种非结构主义的公理化，他认为“数学因此作为连续的综合而出现，其中每个阶段都不可归属于前者（前一阶段）”。他继续提出重要的一点，再次从希尔伯特着手，这样形式化的理论不能给出其内部一致性的证明；元数学应该在这样的形式化之上，以形式化的数学为对象，从非矛盾和完备的双重观点来研究它。”这种双重观点把洛特芒的数学概念与逻辑主义的形式主义区别开来，后者（逻辑的形式主义）认为数学实在的研究仅仅在证明不矛盾的公理。希尔伯特在“形式化的数学和这种形式主义元数学研究两种计划”之间建立的这种“计划的二重性”的结果是，尽管形式主义受“非矛盾和完备的概念”支配，但这些概念本身并不是被这种形式主义所定义的。希尔伯特表达了元数学概念相对于形式数学的支配作用，他写道，“可论证的公理和命题，例如，从这些相互作用的发挥中产生的形式(即形式演绎和新公理的增加)，是构成迄今为止的数学发展之普通过程的思想图像，但这不是绝对意义上的真理。绝对意义上的真理是某种观点…我的理论证明了这些形式系统的可解性和非矛盾性”。因此，根据洛特芒的观点，一个数学理论的价值是由“它的结构所体现的元数学属性”来决定的。

尽管洛特芒反对维也纳学派提出的逻辑主义和形式主义，但他也与法国数学家莱昂·布兰希维克（Léon·Brunschvicg）的经验主义心理学观点保持距离，布兰希维克发展了“数学的客观性是智力工作的成果——在这种工作中，它的努力中战胜了它工作材料反对它的抵抗”的思想，布兰希维克甚至倾向于“任何先验推理的努力都倾向于...‘在数学发现中颠倒思维的自然顺序’”。尽管洛特芒不相信所有“从少量初始原理出发推导数学的统一性”的尝试，包括“数学到逻辑的简化”，但他并不赞同“作为创造性发明的纯粹心理学”的布莱希维克的数学哲学概念。对于洛特芒来说，表征数学的实在的任务，必须通过在这两个极端的立场——逻辑的严密演绎和纯粹的智力创造之间进行调解来完成。洛特芒提出了数学实在的第三种替代的表征方法，这种表征是公理-结构的和动态的，其中逻辑概念的可靠的固定性或时间上的独立性与数学理论的历史发展的动态结合。

逻辑的形而上学：关于数学发生（genesis）的哲学

为了做到这一点，洛特芒区分了数理逻辑发展的两个时期，第一个时期被他称为“幼稚时期”——从罗素的第一部作品到1929年。而从雅克·赫布兰德（Jacques·Herbrand）与哥德尔（Gödel）的作品开始，这被洛特芒称为“关键时期”的开始。他把第一个时期描述为“形式主义和直觉主义在关于康托尔集合论中的产生的对立与辩论的延长”。这些讨论包括对经典分析的批评和对无限问题的基本的争论，这些争论的要点是对实无限的合法性的争论。虽然形式主义者，作为实无限的支持者，声称有权去认为一个数学对象（指无穷）“其被一个没有矛盾的公理系统蕴含”相反，直觉主义者坚持着这是“去肯定一个不可能实现的计算的可能性”，例如，“关于一个对象的构造需要无限多的步骤，或者一个定理是不可能被检验的，因为它依赖于不确定的定义”，这是去肯定一个没有意义的东西，或者是错误的，至少是不可能的。

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