高斯绝妙定理 (3-3)

事实上总是可以通过坐标变换找到这样的等温坐标系的，但我还不知道该怎么证...听说存在性是Korn 和 Lichtenstein的结果。

那么来计算下它的Gauss curvature：

det(lᵤ)＝E²

R₁₂₁₂＝g₂₂R²₁₁₂

Γˡᵢⱼ 共有 2³ 种可能，再加上对称性，只有6个不同的项，在展开计算 R²₁₁₂ 的时候，需要计算其中5项，

1

每个 Γˡᵢⱼ＝ ─ ∑ gˡᵏ(gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ)

2 ₖ

，里面又要求逆又要求导，所以计算起来还是挺麻烦的，好在是等温坐标系。

1 1 1 ∂ ln E

Γˡᵢⱼ＝─ ─ E₁＝─ ───；

2 E 2 ∂u₁

类似的可以算其他几个Christoffel记号，

组合起来，

1 ∂² ln E 1

R²₁₁₂＝–─ ─── – ─ ↓

2 ∂u²₁ 2

∂² ln E 1

───＝– ─ Δ ln E ←

∂u²₂ 2

所以等温坐标系的Gauss曲率：

1

K(u)＝– ── Δ ln E .

2E

类似的我们也可以计算正交坐标系的Gauss曲率，所谓正交坐标系也就是第一基本型满足：g₁₁＝E，g₂₂＝G，g₁₂＝g₂₁＝0.

这种计算虽然繁琐，但是用来熟悉定义是很好的。

参考：

[1]厦门大学杨波老师的讲义： math..cn/group/g...

[2]W. Klingenberg.A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

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