高斯绝妙定理 (3-2)

Γᵐᵢⱼ，ₖ – Γᵐᵢₖ，ⱼ＋∑ (ΓˡᵢⱼΓᵐₗₖ – ΓˡᵢₖΓᵐₗⱼ)＝∑ (hᵢⱼhₖₗ – hᵢₖhⱼₗ)gˡᵐ，

ₗ ₗ

Codazzi方程：

∑ Γˡᵢⱼhₗₖ – ∑ Γˡᵢₖhₗⱼ＋hᵢⱼ，ₖ – hᵢₖ，ⱼ＝0 .

ₗ ₗ

求和号都可以略去，可以看出求和约定相当方便。

事实上轮换 i，j，k 的位置，所有的Gauss方程都是等价的，而存在两个不同的Codazzi方程。

我们主要看这个唯一的Gauss方程，左边是第一基本型的一阶导，二阶导，右边是第二基本型，这说明第一第二基本型并不是独立的！

我们再改写改写这个式子，

左边：

Rᵐᵢⱼₖ ≜ Γᵐᵢⱼ，ₖ – Γᵐᵢₖ，ⱼ＋∑(ΓˡᵢⱼΓᵐₗₖ – ΓˡᵢₖΓᵐₗⱼ)， ₗ

再把右边的第一基本型乘到左边：

Rᵢₗⱼₖ ≜ ∑ gₗₘRᵐᵢⱼₖ＝hᵢⱼhₖₗ – hᵢₖhⱼₗ.

所以就有了一些对称性：

Rᵢₗⱼₖ＝–Rᵢₗₖⱼ＝–Rₗᵢⱼₖ＝Rⱼₖᵢₗ，且R₁₂₁₂＝det(hᵢⱼ)＝det(l l)

Theorem 6.1.1 (Theorema Egregium) 高斯曲率

R₁₂₁₂

K(u)＝──── .

det(l)

这说明高斯曲率是曲面的一个内蕴量，我们可以在任意空间中，研究一张曲面的不变性质了！

回头看高斯绝妙定理的证明过程，并没有什么稀奇的，定义了不少记号，用局部标架进行了些计算，但结果绝对是不平凡的，由此发展出的内蕴几何为之后的研究指引了方向。

关于高斯绝妙定理的意义和一些历史背景，我觉得这篇科普就写的很好：

这里就不赘述了。

接下来的定理也很重要，它告诉我们该怎样唯一决定一个曲面，这里的决定是连空间位置都确定，所以仍然需要第二基本型的参与：

Theorem 6.1.2 （Fundamental theorem of surfaces with prescribed first and second fundamental forms） U ∈ ℝ² 是一个开的单连通区域， lᵤ，l lᵤ 是定义在其上的二次型，且其系数都是可微的，如果他们满足： lᵤ 正定；Gauss和Codazzi方程，那么：

i)存在一个曲面f：U → ℝ³ ，lᵤ，l lᵤ 是它的第一第二基本型；

ii)任何上述的两个曲线间差个等距映射B ： ∼f＝B◦f .

类似之前的曲线基本定理，这里最关键的存在性都是需要解决微分方程，由这个问题引出的一阶线性PDE叫做Pfaff system，详细证明参见Ciarlet,P.G. 的Linear and nonlinear functional analysis with applications. 当年学微分方程数值解的时候常听到的名字CIA.

正如名字中的微分所示，微分几何是离不开PDE的。

接下来举个例子，算一下Gauss曲率.

6.2 等温坐标系(Isothermal coodinates)

Definition 6.2.1 对任意给定的正则曲面片（曲面局部的性质），若存在一个 f：U → ℝ³，U ∈ ℝ²，使 f 的第一基本型矩阵表示 gᵢⱼ＝Eδᵢⱼ，其中 E(u)＞0 . 满足这样条件的坐标叫做等温坐标。

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