高斯绝妙定理 (3-1)

高斯绝妙定理(Theorema Egregium)，拉丁文的remarkable theorem，来看下连高斯都觉得妙的定理到底是怎么回事。

定理的证明主要是通过计算得到的，可能读起来会挺枯燥的，但结论是非常深刻的。

为了书写简便先引进一些记号，(gᵢⱼ) 为第一基本型 l 的矩阵表示， (gⁱʲ) 表示 l 的逆矩阵；同样的 (hᵢⱼ) 为第二基本型 l l 的矩阵表示， (hⁱʲ) 为其逆矩阵。

爱因斯坦求和约定：当求和指标在一项内出现两次，一次上标，一次下标，则表示对这一项求和，比如l＝1，2， αˡ bₗ＝α¹b₁＋α²b₂ ，连个求和符号都想省略掉，可能也预示了微分几何记号繁琐，不知道和微分方程数值解中的繁琐程度孰更胜一筹。

6.1 高斯绝妙定理

我们已经引入了Gauss标架，那么我们就可以用Gauss标架来表示 Tf₍ᵤ₎ℝ³ 中的向量 fᵢⱼ：假设 fᵢⱼ(u)＝α₁(u)f₁(u)＋α₂(u)f₂(u)＋α₃(u)n(u).

接下来把系数用已知量表示出来，首先两端与n 做内积，有 α₃＝hᵢⱼ .

两端与fₖ(u)， k＝1，2 做内积：

₂

fᵢⱼ · fₖ＝α₁f₁ · fₖ＋α₂f₂ · fₖ＝∑ αₗgₗₖ

ₗ₌₁

⇒ αₗ＝gˡᵏ fᵢⱼ · fₖ ≜ Γˡᵢⱼ .（注意这里对 k 求和，GTM51 书上的下标也有错误）

所以用这个新记号：fᵢⱼ · fₖ＝∑ Γˡᵢⱼgₗₖ

ₗ

我们想解的是Gauss标架的系数，我们现在知道它可以表示为Γˡᵢⱼ ，我们再来看看它和第一基本型的关系：

gᵢⱼ，ₖ＝(fᵢ · fⱼ)ₖ＝fᵢₖ · fⱼ＋fᵢ · fⱼₖ＝∑ Γˡᵢₖgₗⱼ＋∑ Γˡⱼₖgₗᵢ. ₗ ₗ

循环i，j，k 可以再得到两个类似的式子，我们考虑光滑函数，所以上述项都是可导的，对称性来自于内积的对称性以及第一基本型本身是对称的。（书上p62 ( α ）式的最后一项下标错了，难道说编辑也懒得验算了= =，这本书之前也有几处指标的错误，不过问题不大了。)

用这样的三个式子便可以解出

1

Γˡᵢⱼ＝ ─ gˡᵏ(gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ)

2

（这里按照求和约定在对k求和）

记Γⱼᵢₖ ≜ gᵢₖ，ⱼ – gⱼᵢ，ₖ＋gₖⱼ，ᵢ ，这个记号被称为Christoffel 第一类记号， Γˡᵢⱼ 被称为Christoffel第二类记号。

所以我们得到了，

fᵢⱼ＝∑ Γˡᵢⱼ(u)fₗ(u)＋hᵢⱼ(u)n(u)

ₗ

同样的，对于nᵢ 也可以在Gauss标架下表示， nᵢ＝–∑ hᵢₗgˡᵏ fₖ ，

ₗ，ₖ

做法和上述一模一样，假设系数，两边同时内积 fₖ，得到第二基本型，第一基本型和系数的关系，把第一基本型“除”到另一边就得到了系数。

由于f 光滑，我们有 fᵢⱼₖ＝fᵢₖⱼ ，由切平面上的部分相等和法向相等，可分别推导出Gauss方程和Codzzi方程。

证明全靠求导，带进Gauss标架里求导，这里Gauss方程中的左边第二部分有一个指标的改变，小心下标（上标）。

Gauss方程：

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