相对论与黎曼几何-4-内蕴几何 (4-1)

4. 内蕴几何

高斯在1827年的著作《关于曲面的一般研究》中，发展了内蕴几何【1】。

所谓“内蕴”，是相对于“外嵌”而言。指的是曲面（或曲线）不依赖于它在三维空间中嵌入方式的某些性质。“内蕴”的概念也可以被解释得更为物理一些：一个观察者在自己生活的物理空间中所能够观察和测量到的几何性质就是这个空间的内蕴性质。也有人比喻说：外嵌是机械设计工程师看待曲面的方法，将曲面看成为他的三维机械零件的表面；而内蕴几何则是地球上的测地员测量地球表面测量到的几何性质。比如说，内蕴几何量的最简单例子就是弧长。一条直线可以在3维空间中看起来转弯抹角地任意弯曲，即随意改变它的曲率和挠率，但生活在直线上的“点状蚂蚁”观察不到这些“弯来绕去”，只能测量到它爬过的弧长。因此，空间曲线的曲率和挠率，是三维空间的生物观察这条曲线时得到的重要性质，但却并不是内蕴几何量。对曲面来说也是如此，弧长并不因为平面卷成了柱面或锥面而改变。弧长与曲线嵌入空间中的弯曲情况无关，因而是个内蕴几何量。

曲线没有内蕴几何，因为所有空间曲线的内在性质都与直线相同。因此，内蕴几何主要用于研究曲面的性质。既然弧长是内蕴的，弧长所导出的其它几何量，诸如面积、夹角等便也是内蕴的。在一个坐标系中如何计算弧长？有了微积分之后这点并不困难，首先要有计算一小段弧长的公式，这个公式可从最古老的欧氏几何中的勾股定理得到，然后进行积分便能求得弧长。

弧长是一个任何曲面都有的、最基本最简单的内蕴几何量，由此可定义曲面的等距变换，即保持弧长不变的变换。曲面的内蕴几何量都是等距变换下的不变量。或者说，根据计算弧长的公式（专业术语称之为曲面第一基本公式），可以建立起曲面的内蕴几何。

刚才说过，空间曲线的曲率和挠率不是内蕴的。对曲面来说，欧拉定义过曲面上的两个主曲率，将这两个主曲率相加除2，可定义“平均曲率”。然而人们发现，主曲率和平均曲率都不是内蕴几何量。直观地看，如前讨论过的柱面和锥面等可展曲面，应该与平面有相同的内蕴几何，而球面一类的不可展曲面，代表了另外种类的几何。虽然主曲率和平均曲率不是内蕴的，但高斯从几何直观可以感觉到，应该存在某种“内蕴曲率”，于是，他开始探讨什么才是曲面的“内蕴曲率”？

图2-3-3：高斯映射和高斯曲率

高斯通过研究曲面在一个给定点及其附近邻域的法线方向，定义了高斯映射，继而再定义了曲面的内蕴曲率，即高斯曲率。

如图2-3-3a所示，高斯映射将曲面在一个给定点P及其附近邻域（总面积为A）的法线矢量，保持原来的方向将端点平移到原点，这些法线与单位球面相交于一块面积为B的图形。高斯认为，面积B与面积A的比值可以代表曲面在P的内蕴弯曲程度。高斯将其定义为高斯曲率。

可以举例说明高斯曲率为什么代表了曲面的内在弯曲度。比如说，如果曲面是一个平面，那么，P点附近所有法线都指向同一个方向，高斯映射将整个平面映射为单位球上的一个点，因此：面积B为0，因而得到平面的高斯曲率为0。如果曲面是一个柱面，高斯映射是单位球面上的一个圆，圆的面积也是0，因而柱面的高斯曲率也为0。图2-3-3c所示的是半径为r的球面的情形，根据高斯曲率K的计算公式：K= B/A = 1/r2，可见r越大，高斯曲率越小，这点符合我们对球面内蕴曲率的直观理解。

如上所定义的高斯曲率与欧拉所研究过的主曲率有一个简单的关系：高斯曲率就等于两个主曲率的乘积。重温两个主曲率的意义：分别是过曲面上某一点截线曲率（绝对值）的最大值和最小值，对柱面、锥面、及切线面三种可展曲面，最小值为0，因此两个主曲率相乘而得到的高斯曲率也为0。

数学联邦政治世界观提示您：看后求收藏（同人小说网http://tongren.me），接着再看更方便。