曲面的拓扑分类 (4-3)

这些事实启发我们把曲面的亏格定义为：能在曲面上画出而又不把曲面分割开的互不相交简单闭曲线的最多个数。球面的亏格是0，圆环面的亏格是1，图136中的曲面的亏格是2.类似地，带有p个洞的曲面的亏格是p·亏格是曲面的一个拓扑性质，当曲面变形时，它仍保持不变。反之可以说明（证明从略），如果两个闭曲面有相同的亏格，则可以把其中一个变形为另一个。所以从拓扑的观点来看，一个闭曲面的亏格卸=0,1,2,…完全刻画了这个闭曲面的特征（假设所考虑的曲面是普通的“双侧”闭曲面，在这节的第三小节我们将考虑“单侧”曲面）。例如，两个洞的面包圈和图137中带有两个“环柄”的球面都是亏格为2的闭曲面；显然，这些曲面中的任一个都可以连续地变形为另一个。由于带有p个洞的面包圈，或者与它等价的带有p个环柄的球面的亏格为p,所以我们可以把这些曲面中的任意一个作为所有亏格为p的闭曲面的拓扑代表。

* 2．曲面的欧拉示性数（略）

3．单侧曲面

普通的曲面是双侧的。这对像球面或圆环面这样的闭曲面，以及像圆盘或者圆环那样的以曲线为边界的曲面都成立，这种双侧曲面，能涂上不同的颜色以区分它的两侧，如果这曲面是闭的，两种颜色绝不会相遇，如果这曲面有边界曲线，则两种颜色只沿着这些边界曲线相遇。一个甲虫沿着这样一个曲面爬行时，如果不越过边界曲线（如果存在的话），则它将永远处在这曲面的同一侧。

莫比乌斯有一个惊人的发现：存在只有一侧的曲面，最简单的这种曲面称为莫比乌斯带，它是这样形成的：取一段矩形长纸条，把它扭过半圈，然后把它的两端贴在一起，如图139.如果一个甲虫在这带子的中间沿着这曲面爬，则将会转回到原来的位置上。莫比乌斯带只有一个边，因为它的边界是由一条闭曲线组成的。把一个矩形纸条不经扭转而粘在一起，这时做成的普通双侧曲面有两条不同的边界曲线，如果把后一种曲面沿中心线切开，它将被分成两个同样类型的纸条。但如果把莫比乌斯带沿着中心线切开(如图139所示)，我们发现它仍然是一个曲面。对任何一个不熟悉莫比乌斯带的人来说，很难预料到这一点，它和我们直观上觉得“应该”发生的情形相反，如果对这个莫比乌斯带沿中心线切开后形成的曲面，再沿着它的中心线切开，则将形成两条分开的但互相绕着的带子。

图139 作一个莫比乌斯带

用这样的带子做如下游戏是很有意思的：沿着平行于边界曲线而横向距离为1/2,1/3等等的线，把它们切开。

莫比乌斯带的边界是一条简单的不打结的闭曲线，它能变形为一条平面曲线，例如一个圆。但在变形时可以允许这带子自身交叉。这时，所得到的这个自交而且单侧的曲面(如图140)称为交叉帽。自交的轨迹可以看成是两条不同的线，各属于在那里交叉的曲面的两部分之一。莫比乌斯带的单侧性是不变的，因为这是拓扑性质；一个单侧曲面不能连续地变形为双侧曲面，令人奇怪的是，甚至存在这样的形变，它使莫比乌斯带的边界变成一个平面曲线，例如三角形，而莫比乌斯带本身却不交叉。图141表明了这样一个模型(这归功于突克曼（B.Tuckermann)).这个带的边界是一个三角形，它是一个正八面体的对角正方形的一半，而这个带本身是由这八面体的六个面和四个直角三角形组成的（每一个三角形是这个对角平面的四分之一）。

图140 交叉帽

图141 带有平面曲线边界的莫比乌斯带

另一个有趣的单侧曲面是“克莱茵瓶”。这曲面是闭的，但它没有里外之分，它拓扑等价于一对边界重合的交叉帽。

图142 克莱茵瓶

研究诸如这样一些曲面的拓扑性质时，一种比较简单的方法是，借助于平面多边形，让它们的某些对边在想象中合在一起（比较第四章附录第三节）。在图143中平行箭头在位置上和方向上一实际上或概念上一都是相重合的。

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