曲面的拓扑分类 (4-2)

作为两个拓扑不等价的图形的另一个例子，我们可以考虑图125所示的平面区域，其中第一个是由一个圆的所有内点组成的，而第二个是由包含在两个同心圆之间的全体点组成的。区域α中的任一封闭曲线都能连续变形或“收缩”成这区域内的一个点。具有这种性质的区域称为单连通的。区域b不是单连通的。例如与这两个边界圆同心而在它们之间的一个圆，就不能收缩成这区域内的一个点。因为在这过程中，曲线必须越过圆心，而圆心不是这区域的点。不是单连通的区域称为多连通的，多连通的区域b,如果沿半径切开(如图126)得到的区域将是单连通的。

α b

图125 单连通和双连通

图126切开一个双连通区域，使它成为单连通区域

更一般地，我们能作出带有两个、三个或更多个“洞”的区域，例如图127的区域。为了把这区域变成一个单连通区域，必须切开两次，如果必须作(n-1)次彼此不相交的、从边界到边界的切割，才能把给定的多连通区域D化为单连通区域，那么这个区域D就称为重连通的。平面上一个区域的连通性的重数是这个区域的一个重要的拓扑不变量。

图127 三连通区域的缩减

§3 拓扑定理的其他例子

1．若当曲线定理 （略）

图128 平面中哪些点是这多边形的内点

2．四色问题 （略）

1 2 3 4

图129 给地图上色

4．不动点定理（略）

p' ← p

图132 变换向量

5.纽结‬

作为最后一个例子，可以指出，纽结的研究提出了一些具有拓扑特性的数学难题。一个纽结是这样做成的：先把一段绳子打上结，然后把两个端点接起来。这样得到的封闭曲线表示这样一种几何图形，即使经过拉或扭，只要绳子不断，这图形本质上仍不变。但是怎么才能给出一个内在的特征，用它来区分空间中打结的闭曲线和没有打结的曲线（例如圆）呢？要回答这个问题并不简单，而且对各种类型的结以及它们之间的区别至今还很少有完整的数学的分析，即使对于最简单的情形，这也是一个相当大的任务，考虑图134中两个三叶形的纽结。这两个纽结彼此间是完全“镜像”对称的，而且是拓扑等价的，但不全同，问题是，究竟能不能把这些纽结中的一个连续地变形为另一个，回答是否定的，但是要证明这个事实需要了解比我们这里更多的拓扑学和群论的知识。

图134 拓扑等价纽结，但不能由一个形变为另一个

§4 曲面的拓扑分类

1.曲面的亏格

许多简单然而重要的拓扑事实都来自二维曲面的研究。例如，将一个球面和一个圆环面作比较。从图135看得很清楚，这两个曲面有根本的区别：和平面上一样，球面上任何一条简单闭曲线，例如C,把曲面分成两部分，但在圆环面上存在这样的闭曲线，例如C',它没有把曲面分成两部分。我们说C把球面分成两部分，意思是指，如果把球面沿着C切开，它将分成两个不连接的曲面片，或者说，能在球面上找到两个点，使得球面上连接它们的任意曲线必定和C相交。另一方面，如果把圆环面沿着闭曲线C切开，得到的曲面仍连接在一起，曲面上任意一点能够通过一条不和C相交的曲线与另外任意一点相连。球面和圆环面之间的差别指出了两类在拓扑上不同的曲面，而且说明了不可能从其中一种连续地变形为另一种。

C C

图135 切割球和圆环

其次，我们考虑图136表示的带有两个洞的曲面，在这曲面上能画出两个不相交的闭曲线A和B,而它们没有把曲面分开。对圆环面来说，任意两个这样的曲线总是把它分为两部分。另一方面，三个不相交的闭曲线总能把带有两个洞的曲面分开。

B A

图136 一个亏格为2的曲面

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